康托

05-10-21 9:20

康托(Georg Cantor,1845-1918)——生平与成就

Cantor

康托描述了无穷的最高峰,然后跌入思想之最深谷:精神忧郁。

康托的父亲是新教徒,母亲是天主教徒,他是他们的长子并与其父同名。他的父亲乔治·瓦尔德马·康托是一位德国出生的新教徒,后来搬到俄罗斯首都圣彼得堡,成为一名股票经纪人。康托最终因其父亲一方的数学才能而出名。但一开始他出名是因为他小提琴拉得非常好,这一才能无疑来自他的母亲玛丽·玻恩。她是一名土生土长的俄罗斯人,并来自以小提琴才能闻名的音乐家庭。

随着家庭搬回德国并定居在法兰克福,康托早年在圣彼得堡读书的记录已经散失。搬回德国可以让他父亲不用再忍受俄罗斯严酷的寒冬。康托就读于法兰克福中学和邻近的威斯巴登中学,成绩斐然。老康托认为小康托对数学的热爱可以使他成为“工程领域的一颗闪亮的星星”。康托勉强遵守了父亲坚定地认为苏黎世理工学院是学习工程的好地方的建议。一个学期后,他终于有了足够的勇气征求他父亲的允许转学到柏林大学去学习纯数学。

大出康托的意料之外,他父亲同意了这一改变。1863年6月,他在苏黎世完成第一学年后,康托得知了他父亲突然去世的消息。老康托甚至无法看到他儿子在数学领域成为一颗闪亮的星星的第一个成就!在柏林,康托飞快的学习着数学课程,他是伟大的魏尔斯特拉斯——后者刚担任数学系主任一职——的学生。只用了四年,他就获得了本科和博士学位。

在当地女子学校教了两年书后,康托在哈雷大学获得了第一个大学教书的任职。哈雷是音乐家亨德尔的故乡,离柏林以南约100英里。10年后,他获得了教授职位。终其余生,他都留在那里。

康托来到哈雷后,他的新同事,数学家海因里希·海涅向他提出挑战,要他证明用三角函数级数表示一个函数的唯一性,这也是傅立叶级数的一般化。这一研究于1870年代将康托引向对无穷的研究。

康托并不是第一个将无穷进行形式化的数学家。康托之前,戴德金(1831-1916)通过定义如何识别无穷,而不是如何构造无穷而迈出了重大的第一步,也因此回避了伟大的高斯对此提出的反对意见:

我反对将无穷量作为完备的东西而加以使用,这在数学中是绝对不允许的。无穷只是一句套话,其真正的含义是一个极限,某些特定的比例可以无限接近之,而其它一些允许不受限地增加。

戴德金用整数0,1,2,3,4……作为一个无穷集合的范例,并定义:如果自然数1可以与某个集合或者该集合的一个子集进行一对一映射,那么这个集合为无穷集合。因此,根据定义,自然数是无穷的,整数也是,有理数、实数也是,因为每个自然数也是一个整数,一个有理数和一个实数。

戴德金已然做到此处。然后康托问了两个有趣的问题。第一,不参考自然数,可以识别无穷吗?第二,无穷是不是有不同的级别?

康托这样来回答他的第一个问题:他定义如果一个集合可以与自然数集合({0, 1, 2, ...})构成一对一映射,那么这个集合是无限的。自然数集合当然满足这个条件。自然数集可以和自身进行一对一映射(比如考虑这样一个映射:0->1, 1->2, 2->3, 3->4, ...)。因此,满足康托无穷定义的集合也自动满足戴德金的定义。要展示反例,需要用到20世纪的数学“选择公理”。

康托开创性工作的重头戏在他的第二个问题,并构筑在他第一个问题的回答上。将无穷一般化而超出自然数后,康托提出了有不同级别的无穷的可能性。康托定义,如果两个集合相互间可以有一对一映射,那么这两个集合是等势的。因此,正整数和负整数是等势的,因为每个负整数可以通过n<->-n(对于每个正整数)进行映射。

类似的,通过同样的映射,正实数与负实数等势。(试试看你能不能证明正整数和所有整数等势。)

做出这些证明后,康托引入了集合的基(即它有多少成员)和序型之间的分别。他注意到,尽管正整数和负整数的基相同,他们的序型是不同的。基于常规的大于/小于排序,有第一个正整数但没有最后一个。反之,有最后一个负整数但没有第一个。康托用希伯来字母\(\mathbb{N}0\)来表示基(希伯来字母的第一个加上下标0,表示第一个无穷基),而用希腊字母表示序型。ω表示类似正整数这样的集合的序型(有第一个元素但没有最后一个),\(ω^*\)表示类似负整数这样的集合(有最后一个元素但没有第一个)。序型ω+1描述了这样的一个集合:类似正整数加上一个比所有正整数都大的单一元素。整数作为整体,其序型是。你猜得到\(ω+ω^*\)的集合序型是什么吗?这不难。它就是我们日常处理一直用到的!

接着康托展示了基于等势的定义的力量。首先,他证明正有理数与正整数等势。康托意识到正有理数不能简单套用大于/小于,因此他进行了重整!

数字 数字 数字 数字 数字 数字 数字 数字 数字 数字
1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1 10/1
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2 9/2 10/2
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3 10/3
1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4 10/4
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5
1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 8/6 9/6 10/6
1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 7/7 8/7 9/7 10/7
1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8 9/8 10/8
1/9 2/9 3/9 4/9 5/9 6/9 7/9 8/9 9/9 10/9
1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 10/10

根据它们分母和分子之和,他将其重新排列并穷举:1/1,2/1,1/2,1/3,2/2,3/1,4/1,3/2,……然后证明正有理数和正整数等势。

康托然后开始处理实数,并证明它们与整数不等势。实数的数量严格多于整数的数量。下面是康托这个(对于0到1之间的实数)证明的要点:假定比0大比1小的实数与正整数等势,那么它们可以用类似下表的序列列出:

序数 数字
第1个: 0.2092119644443. . .
第2个: 0.3108131969619. . .
第3个: 0.2425129315441. . .
第4个: 0.3480075650872. . .
第5个: 0.0415810010525. . .
第6个: 0.4702742494171. . .
第7个: 0.6598371022485. . .
第8个: 0.4153943669555. . .
第9个: 0.8832597362598. . .
第10个: 0.2475646576200. . .
第11个: 0.7400378254561. . .
第12个: 0.6523095434371. . .
第13个: 0.3513962470851. . .

康托的伟大洞见出现了。他考虑上表中粗体显示的位,如果在0-8之间,他将其加1;如果是9,他将其变为0。这样构成了一个实数:0.3231952777682...。这个数不可能在表中,因为它和每个列出的实数都不同!康托使用了归谬法的一个特殊形式,即所谓的“对角化参数”来证明实数的数量严格多于整数的数量。在哥德尔和图灵的著作中,我们还会看到再次出现对这一方法的喜好。

由于无穷这个词儿历史悠久,也承载了太多的含义,康托引进了术语“超限数”来表示所有他的这些无穷数(既表示基也表示序型)。

接着,康托问了一个问题:既然实数的数量严格多于整数的数量,实数的无穷子集有多少种不同的类型?这个问题至今还没有解决。是不是只有两类?与实数等势的一类,以及和整数等势的一类?还是在这两类中海油更多的子集类型?康托认为实数只有两类无穷子集,但是无法证明。康托的这一“连续统假设”最终会让康托自己大吃一惊。1940年,哥德尔证明,利用标准的集合理论公理,无法反证连续统假设。然后在1963年,科恩证明,利用同样的这些公理,连续统假设也无法被证明!

康托在哈雷的前几年一定很快乐。1874年,他与一位朋友的妹妹瓦利·古特曼结婚。他们在瑞士度了蜜月,然后回到家里。康托用传自父亲的基因自己建了这个家。将来的12年,这里诞生了他们的五个孩子。

康托的家庭越来越大,而他当教授的工资不过是当地本来就较低的水平,这给他带来更大的财政需求。为了减轻负担,康托向柏林的母校申请教授职位。他在超限数方面的成就为康托赢得了数学界世界范围内的声望。有了这些赞誉,他希望可以为他赢得在一所诸如柏林大学这么有名望的学校中任职的机会。他过去的导师魏尔斯特拉斯也对康托的成就大加赞扬。但总有些人反对任何关于无穷大事实存在的言论。其中就有克罗内克,柏林大学中一位地位显赫的教授。

照克罗内克说来,数学处理的是构造,但这正是康托和戴德金在处理无穷时竭力避免的。尽管有魏尔斯特拉斯的努力,克罗内克还是能阻止让康托获得柏林大学教授职位的所有尝试。

康托四十岁刚过,生活和职业上的压力就让他难以承受了。他的深度精神忧郁第一次发作,不得不在疗养院住了几个礼拜。回家后,他给一位数学同事写道:

我不知道是不是应该回来继续我科学工作的研究。此刻,我对此能做的没有什么,只能将我局限在必要的讲课职责上。要是我能积极参与科学工作,我该会更开心的——只需我的精神状态足够好。

确实,康托作为数学家的最好年华已经结束。也许是意识到了这一点,康托投入大量的精力在新统一的德国全国范围内成立一个数学协会。协会于1890年成立,他成为第一任主席,直到1893年他再次被忧郁击垮。

康托生命的最后25年是在不断进出医院,与忧郁症战斗中度过的。1894年,他发表了一篇就他的名声而言非常非常奇怪的论文。在精神病医院期间,他对哥德巴赫的著名猜想——即每个偶数可以表示为两个素数之和——着了迷。1894年,他发表论文,证明所有直到1000的偶数可以由两个素数的和表示。而40年前,一位佚名的数学家就已经做到了10000的偶数的证明。

随着年龄增长,康托的精神状态越来越糟糕。在他的晚年,他投身于莎士比亚的研究。他甚至试图证明这位诗人和哲学家培根是同一个人!

德国的数学界计划在1915年为康托的70大寿举办一次大型的庆典。但是,一战的爆发使之成为不可能。康托在1917年6月最后一次进入了精神病院。他死于1918年1月6日,他不知道的是,德意志帝国在那年末也将毁灭。


  1. 注意,这里的自然数很我们日常说的有点不同,它包含0。这是皮亚诺公设之一。译者注。 

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