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前言

我们很幸运能生活在这个时代，一个我们还能进行诸如发现美洲——不过你只能发现一次——那样的发现的时代。我们生活的时代是这样的一个时代：我们找到了自然的基本法则。

——理查德·费曼，美国物理学家，1964年所述

本书展示了数学界发展史上最重要的31部作品——其中有4部还是首次翻译到英文——的摘要，并向这些数学家致敬。正是这些数学家，帮助我们在了解世界的旅途上前进，并为我们当今的科技时代铺平了道路。

数个世纪以来，正是这些数学家们的努力帮助人类获得了了不起的对自然的洞察。比如，让我们意识到地球是圆的，使得苹果落向地面的同一种力量也适用于天体的运动，宇宙是有限的而不是永恒的，时空是互相缠绕的并由物质和能量产生扭曲，未来只能按照概率来判定。我们去理解世界的方法的这些革命都伴随着数学思想上的革命。如果没有笛卡尔的解析几何和牛顿自己发明的微积分，牛顿也将永远无法形成他的定理。如果没有傅立叶的方法、没有微积分方面的工作或者没有高斯和柯西在复变函数上的开创性工作，很难想象电动力学或者量子力学能有什么发展。而正是由于勒贝格在量度理论上的工作，才使得诺依曼创立了我们如今掌握的量子理论方面的严密理解。如果没有黎曼的几何概念，爱因斯坦将无法完成他的广义相对论。而要是没有拉普拉斯创立的概率学和统计学概念，几乎所有的现代科学将会低效的多——如果还有现代科学的话。

这么多年来，对数学领域投入的研究和努力其重要性只有那些投入在物理科学研究中的才能与之相提并论。但数学不仅仅是一个工具，或者科学研究的工具。它自身就是一个目标，而正因如此，几个世纪以来，它以其本身影响了我们的世界观。魏尔斯特拉斯对如何理解函数的连续提出了新的概念，而康托革命性的工作改变了我们对无穷的理解。布尔的思想之法则揭示了逻辑是一个系统化的过程，它依赖的法则与代数法则一样，从而照亮了思想的本质并最终使得其某种程度上的机械化——即现代电子计算——成为可能。图灵揭示了电子计算的强大和局限，而那是在有可能进行复杂计算很久之前。哥德尔证明了困扰着众多哲学家——也同样困扰着芸芸众生——的关于绝对真理的理论，他证明：任何足够复杂的逻辑系统（比如算术）中，一定存在这样的陈述，它们既不能被证明也不能被证伪。要是这还不够糟糕的话，他还证明，一个系统本身是否逻辑一致的问题无法在该系统内得到证明。

我们这本令人着迷的书展示了所有这些以及其它一些开创性的发展，数学发展25个世纪以来的中心思想，引用原文来追踪从数学思想一开始直到如今的演化——有时是革命。

虽然我们呈现的第一部作品来自公元前300年的欧几里德，但是埃及人和巴比伦人早在公元前3500年就拥有了进行数学计算的惊人能力。埃及人用这些能力来建造大金字塔并完成其他惊人的目标。但是他们的计算缺少一个数学中关键的要素：精确性。举例来说，古埃及人将一个圆的面积等同于边长为该圆直径8/9的一个正方形的面积。这一方法相当于取数学常量\(\pi\)的值为256/81（3.16）。从一个方面来看，这是令人惊讶的：这个值与精确值的误差只有差不多半个百分点。但从另一个方面来看，这个值完全是错误的。我们为什么要为半个百分点担忧呢？因为埃及人的近似值忽略了\(\pi\)真值的一个深刻而基本的数学特性：\(\pi\)不能表示为分数。这是一个原则问题，和任何纯粹数量级上的精确度无关。虽说\(\pi\)的无理性直到18世纪后期才被证明，但是古希腊人确实发现存在一些数是不能用分数来表示的。而这一发现让他们极度困扰，极度震惊。这就是希腊人的聪明之处：他们承认数学基本原理¹的重要性，而其根本在于数学是一个科目，我们从一系列概念和规则出发，严密地得出它们精确的结果。

公元前300年，在亚历山大，欧几里德将希腊人对几何的理解总结成书《几何原本》。接着的几个世纪，希腊人在代数和几何方面大步向前。古代最伟大的数学家阿基米德，研究了几何形状，发明了求面积和体积的天才方法，还找到了\(\pi\)的新的近似值。另外一位亚历山大人丢番都研究了代数问题中的杂乱呈现的文字和数字的问题，发现抽象化会带来大大的简化。因此，丢番都走出第一步，将符号引入了代数。一千多年后，法国人笛卡尔通过他创立的解析几何将几何和代数这两个领域加以统一。他的工作为牛顿发明微积分铺平了道路，而微积分则是进行科学研究的新方法。自牛顿以降，数学发明的步伐近乎疯狂，这是因为数学的基本领域：代数、几何、微积分（或者说函数理论）互相依赖、互相滋养，为众多应用（如概率、数论、热力学）提供了洞察力。而数学成熟后，它所面向的问题也成熟了。哥德尔和图灵这两位在本书中最后得到介绍的思想家要解决的也许是最深刻的问题：什么是可知的问题。和过往一样，数学将来的发展一定会直接或间接地影响我们生活和思考的方式。古代社会的奇迹是物理上的，比如埃及的金字塔。而正如本书将要表明的，现代社会的奇迹正是我们自己的领悟。