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数学就是对熟悉的数学对象进行抽象、改变或一般化,然后看看会发生什么。抽象代数也是如此,其中会引入诸如“群”、“环”以及“域”的对象。我们在第3章看到的模运算也是如此。

求解同余方程\(ax\equiv b\pmod{n}\)意味着找到一个数(\(x\)),它累加\(a\)次后对\(n\)的模是\(b\)。如果对\(x\)进行\(a\)次的自乘,我们就得到幂的求模。我们在本章将对幂的求模进行探索。

整数对\(n\)求模的秩

练习4.1:令\(i=0, 1, 2, ..., 6\),在标准余数集中找出\(2^i\)\(7\)的模。

\(2^0=1\equiv 1\pmod{7}\\2^1=2\equiv 2\pmod{7}\\2^2=4\equiv 4\pmod{7}\\2^3=8\equiv 1\pmod{7}\\2^4=16\equiv 2\pmod{7}\\2^5=32\equiv 4\pmod{7}\\2^6=64\equiv 1\pmod{7}\)

定理4.2:令\(a, n\in \mathbb{Z}, (a, n)=1\)。那么\(\forall j\in\mathbb{N}, (a^j, n)=1\)

证明:(略)。(提示:可以用到唯一分解。)

定理4.3:令\(a, b, n\in\mathbb{Z}, n\gt 0, (a, n)=1\),那么\(a\equiv b\pmod{n}\implies (b, n)=1\)

证明

\((a, n)=1\)可知,存在\(x, y\)使得\(ax+ny=1\)。又由\(a\equiv b\pmod{n}\implies a=kn+b\)。因此\(1=ax+ny=(kn+b)x+ny=knx+bx+ny=bx+(kx+y)n\implies (b, n)=1\)。QED。

定理4.4:令\(a, n\in\mathbb{N}\),那么存在\(i, j\in\mathbb{N}, i\ne j\)使得\(a^i\equiv a^j\pmod{n}\)

证明

\(a^i\)\(n\)求模可以得到一个标准完全余数集,这个余数集中元素的个数是有限的,而\(j\)可以取无限多值,所以根据鸽笼原理,一定存在至少一个\(j\)使得\(a^i\equiv a^j\pmod{n}\)。QED。

我们来回顾一些老(第一章)的定理。

定理4.5(定理1.45):令\(a, b, c, n\)为整数,\(n\gt0\),如果\(ac\equiv bc\pmod{n}, (c, n)=1\),则\(a\equiv b\pmod{n}\)

下面这个定理告诉我们,如果我们取一个与模\(n\)互质的自然数,那么这个数进行幂运算后总归会得到对\(n\)求模为1。这个定理的一个自然推论是,之后这个数的幂运算对\(n\)求模就开始循环。

定理4.6:令\(a, n\in\mathbb{N}, (a, n)=1\),那么存在一个\(k\in\mathbb{N}\:s.t.\:a^k\equiv 1\pmod{n}\)

证明

如果\(a\equiv 1\pmod{n}\),定理成立。以下假定\(a\not\equiv 1\pmod{n}\)

根据定理4.4,我们知道存在\(i, j\:s.t.\:a^i\equiv a^j\pmod{n}\implies a^{i-j}a^j\equiv 1\times a^j\pmod{n}\)。结合定理4.6,\((a, n)=1\implies (a^j, n)=1\)。再根据定理4.5,得出\(a^{i-j}\equiv 1\pmod{n}\)。QED。

这个定理告诉我们,一个自然数如果和一个模数互质,那么一定存在一个最小的幂次,使得这个自然数的该次幂对该模数的模为1。这个概念很重要,值得被定义:

定义:令\(a, n\in \mathbb{N}, (a, n)=1\)。那么使得\(a^k\equiv 1\pmod{n}\)的最小的那个自然数\(k\)被称为\(a\)\(n\)求模的秩(order),并记为\(ord_n(a)\)

费马小定理

本节的终极定理是所谓的“费马小定理”(Fermat's Little Theroem)。它告诉我们,一个数字的某次方会与1同模于某个素数

以下我们进行一些练习,来对这个定理有一些概念。

练习4.7:选择一些互质的数字\(a, n\),并计算\(ord_n(a)\)。看看是否能进行一些猜想。

  1. \(a=2, n=3\)

\(a^1=2\equiv 2\pmod{3}\\a^2=4\equiv 1\pmod{3}\implies ord_3(2)=2\)

  1. \(a=3, n=11\)

\(a^1=3\equiv 3\pmod{11}\\a^2=9\equiv 9\pmod{11}\\a^3=27\equiv 5\pmod{11}\\a^4=81\equiv 4\pmod{11}\\a^5=243\equiv 1\pmod{11}\implies ord_{11}(3)=5\)

在练习中,我们会注意到,在余数为1之前,对\(n\)的余数一定不会重复。这个观察直接导致如下定理:

定理4.8:令\(a, n\in\mathbb{N}, (a, n)=1, k=ord_n(a)\),那么\(a^1, a^2, ..., a^k\)两两一定与\(n\)不同模,也就是\(a_i\not\equiv a_j\pmod{n}, i\ne j\)

证明

假定存在\(a^i\equiv a^j, i\ne j\in [1, k]\)。不妨假定\(i\gt j\),我们得到\(a^{i-j}\equiv 1\)。所以\(k=ord_n(a)=i-j\)。但\(i-j\lt k\),与题设矛盾。QED。

如果一个自然数取大于其秩\(k\)的幂,那么对\(n\)的模肯定不会不同于\([1, k]\)之间幂对\(n\)的模。

定理4.9:令\(a, n\in\mathbb{N}, (a, n)=1, k=ord_n(a)\)。那么对于任何自然数\(m\)\(a^m\)一定与\(\{a^1, a^2, ..., a^k\}\)中的某个数对\(n\)同模。

证明:(略。可以用到除法算法。)

定理4.10:令\(a, n\in\mathbb{N}, (a, n)=1, k=ord_n(a)\)。令\(m\)为任一自然数,那么\(a^m\equiv 1\pmod{n} \iff k\mid m\)

证明

\(a^m\equiv 1\pmod{n}\)及除法算法可知:

\(a^m=a^{qk+r}=a^{qk}a^r=(a^k)^qa^r\equiv 1^qa^r\equiv a^r\pmod{n}\)

所以,\(a^r\equiv 1\pmod{n}, 0\le r\lt k\)。但\(k\)已经是最小的那个幂指数(因为\(k\)是秩),所以\(r=0\implies k\mid m\)。反之,从\(k\mid m\)也可以得出\(a^m\equiv 1\pmod{n}\)。QED。

定理4.13:令\(p\)为整数,而\(p\nmid a, a\in\mathbb{Z}\),也就是说\((a, p)=1\)。那么\(S=\{a, 2a, 3a, ..., pa\}\)构成对\(p\)求模的完全余数集。

证明

我们要用到定理3.17

\(n\)为自然数。任何\(n\)个整数的集合\(a_1, a_2, ..., a_n\),如果其中没有两个整数对\(n\)同模,那么它就是对\(n\)求模的完全余数集。

我们在集合\(S\)中任取两个元素\(k_1a, k_2a\)。考虑到\(|k_1-k_2|\lt p\),而\(p\)是一个素数,所以\(p\nmid (k_1-k_2)\),所以任意两个\(k_i, k_j\)都不会对\(p\)同模。再根据\((a, p)=1\implies k_ia\nmid k_ja\pmod{p}\)。根据定理3.17,显然\(S\)构成了一个对\(p\)求模的完全余数集。

接近了!非常接近了!

定理4.14:令\(p\)为一个素数,而\(a\)是一个不能被\(p\)整除的整数(\((a, p)=1\)),那么\(a\times 2a\times 3a\times ... \times (p-1)a\equiv 1\times 2\times 3 \times ... \times (p-1) \pmod{p}\)

证明

根据定理4.13\(\{a, 2a, 3a, ..., pa\}\)构成\(p\)的完全余数集,其中的\(pa\equiv 0\pmod{p}\),所以集合\(S=\{a, 2a, 3a, ..., (p-1)a\}\)必然与\(p\)同模于\(\{1, 2, ..., p-1\}\)(虽然顺序不必如此)。

所以\(a\times 2a\times 3a\times ... \times (p-1)a\equiv 1\times 2\times 3 \times ... \times (p-1) \pmod{p}\)。QED。

从定理4.14出发经整理得到:

\(a^{p-1}(p-1)!\equiv (p-1)!\pmod{p}\implies a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}\)

\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}\)

这就是“费马小定理”。

以下两个定理是费马小定理的两个等价描述:

定理4.15:如果\(p\)是一个素数,而\(a\)是一个与\(p\)互质的整数,那么\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}\)

定理4.16:如果\(p\)是一个素数,而\(a\)是一个与\(p\)互质的整数,那么\(a^p\equiv a \pmod{p}\)

定理4.17:定理4.16和4.17是等价的,两者可以互相推导出另一个。

费马小定理告诉我们,一定存在一个数字(\(p-1\))可以使得\(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)。联系到“秩”的定义,我们有下面的定理将这两者关联:

定理4.18:令\(p\)为一个素数,而\(a\)是一个整数,如果\((a,p)=1\),那么\(ord_p(a)\mid p-1\)

证明:(略)

费马小定理有很多令人印象深刻的应用,其中之一就是让我们进行一些非常困难的模运算,可以让你的朋友们对你Orz不已。

练习4.19:进行下列运算

  1. \(512^{372}\pmod{13}\)

首先,\((512, 13)=1\),根据费马小定理,\(512^{12}\equiv 1\pmod{13}\implies 512^{372}=(512^{12})^{31}\equiv 1^{31}\equiv 1\pmod{13}\)

  1. \(3444^{3233}\pmod{17}\)
  2. \(123^{456}\pmod{23}\)
  3. \(314^{159}\pmod{31}\)

费马小定理讲述了对素数求模的信息,但如果我们要对合数求模又该如何?

定理4.21:令\(m, n\in\mathbb{N}, (m, n)=1, a\in\mathbb{Z}\)\(x\equiv a\pmod{m}\)\(x\equiv a\pmod{n}\implies x\equiv a\pmod{mn}\)

证明

由题设可以得到:\(m\mid (x-a), n\mid(x-a)\)

从素数分解唯一性可知,\(m=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}, n=r_1^{s_1}r_2^{s_2}...p_n^{s_n}\)。根据题设,由于\((m, n)=1\),所以任意\(p_i\ne r_j\)。而既然\(m\mid(x-a), n\mid(x-a)\),所以\((x-a)\)中要同时包含\(p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}\)以及\(r_1^{s_1}r_2^{s_2}...p_n^{s_n}\)。所以\(mn\mid(x-a)\implies x\equiv a\pmod{mn}\)。QED。

练习4.22:求\(4^{72}\)\(91(=7\times 13)\)的模。

首先注意到\(91=7\times 13\),而\((7, 13)=1\),所以可以分别计算\(4^{72}\)\(7\)和对\(13\)的模。

再根据费马小定理:

\(4^6\equiv 1\pmod{7}\implies 4^{72}\equiv 1\pmod{7}\)

\(4^{12}\equiv 1\pmod{13}\implies 4^{72}\equiv 1\pmod{13}\)

综上,\(4^{72}\equiv 1\pmod{91}\)

练习4.23:找到一个自然数\(k\lt 117\),使得\(2^{117}\equiv k\pmod{117}\)

注意到\(117=3\times 3\times 13=9\times 13\),而\((9, 13)=1\)

2的各次幂对9和13的模如下:

幂次 模9 模13
1 2 2
2 4 4
3 8 8
... ... ...
12 1 1

所以\(2^{12}\equiv 1\pmod{9}\equiv1\pmod{13}\implies 2^{12}\equiv 1\pmod{117}\)

因此,\(2^{117}=(2^{12})^9\times 2^9\equiv 2^9=512\equiv 44\pmod{117}\)。所以\(k=44\)

费马小定理的另一种证明

和很多别的定理一样,费马小定理也有很多证明方法,其中之一就是用到所谓的“二项式定理”(Binomial Theorem)。首先引入定义。

定义:如果\(n, m\)为自然数,且\(m\le n\),那么\(\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

我们特别约定\(0!=1\)

定理4.24:令\(a, b\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\),那么\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{n-i}b^i\)

证明

用数学归纳法很快可以证明。

引理4.25:如果\(p\)是一个素数,而\(i\)是一个小于\(p\)的自然数,那么\(p\mid\binom{p}{i}\)

证明

\(\binom{p}{i}\)的定义可知:\(\binom{p}{i}=\frac{p!}{i!\times (p-i)!}=\frac{p(p-1)(p-2)...(p-i+1)}{i!}\)。注意,\(p\)是一个素数,而\(i\lt p\),这表明\(i!\)中的每一项都不能整除\(p\),也就是说\(p\)必然是\(\binom{p}{i}\)的倍数。QED。

我们可以用这个引理来证明费马小定理。此处略去。

欧拉定理和威尔逊定理

费马小定理的限制在于它要求模数为素数。如果我们取一个与模数不互质的数字,那么这个数字的任何幂次都不会与1同模于这个模数。所以我们还是要关注于模数互质的数字。

首先我们引入所谓的欧拉\(\phi\)函数,它是一个函数,用来计算有多少互质的数字。

定义:对于一个自然数\(n\),欧拉\(\phi\)函数\(\phi(n)\)等于小于等于\(n\)且与\(n\)互质的自然数的数量。我们特别定义\(\phi(1)=1\)

练习4.27:1/5/7/11都是小于12且与12互质的自然数,所以\(\phi(12)=4\)。试计算\(\phi(7), \phi(15), \phi(21), \phi(35)\)

\(\phi(7)=6, \phi(15)=8, \phi(21)=12, \phi(35)=24\)

(网上有一些很贴心的小工具,可以帮助我们计算\(\phi(n)\),比如这里)。

让我们再回顾一些定理。

定理4.28:令\(a, b, n\in\mathbb{Z}\),那么\((a, n)=1, (b, n)=1\implies (ab, n)=1\)

定理4.29:令\(a, b, n\in\mathbb{Z}\),如果\(a\equiv b\pmod{n}, (a, n)=1\implies (b, n)=1\)

定理4.30:令\(a, b, c, n\in\mathbb{Z}, n\gt 0\)。如果\(ab\equiv ac\pmod{n}, (a, n)=1\implies b\equiv c\pmod{n}\)

下面是一个重要的定理,表明我们在计算欧拉\(\phi\)函数时如果算上两个数,那么这两个数乘以一个与模数互质的数后,不会对模数同模的数。

定理4.31:令\(n\in\mathbb{N}\),且\(x_1, x_2, ..., x_{\phi(n)}\)是小于等于\(n\)且与\(n\)互质的数。令\(a\)是一个非零的整数并与\(n\)互质,令\(i, j\)是不同的自然数且小于等于\(\phi(n)\)。那么\(ax_i\not\equiv ax_j\pmod{n}\)

证明:定理4.28-4.31的证明从略。

接下来的一个定理就是欧拉定理,由此可以导出费马小定理。

定理4.32(欧拉定理):如果\(a, n\in\mathbb{N}, n\gt 0, (a, n)=1\),那么\(a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod{n}\)

推论4.33(费马小定理):如果\(p\)是一个质数,\(a\)是一个整数且与\(p\)互质,那么\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}\)

欧拉定理的证明已经超出了本书目前的范围。

网上有很多资源可以计算欧拉的\(\phi(n)\)值,比如这里,据说可以算到20位数。

下面来做一些练习。

练习4.34:计算如下数值

  1. \(12^{49}\pmod{15}\)

我们注意到\((12, 15)\ne 1\),所以不能直接套用欧拉定理。

我们先计算\(\phi(15)=8\)。所以我们知道:\(4^8\equiv 1\pmod{15}\implies4^{49}=4^{48}\times 4\equiv 4\pmod{15}\)。而3的各幂次对15的模是:\(3^1\equiv 3, 3^2\equiv 9, 3^3\equiv 12, 3^4\equiv 6, 3^5\equiv 3...\),所以可以得到\(3^{49}\equiv 3 \pmod{15}\)。而\((4, 3)=1\)。综上:\(12^{49}=4^{49}3^{49}\equiv 12\pmod{15}\)

  1. \(139^{112}\pmod{27}\)

注意到\((139, 27)=1\),所以可以直接用欧拉定理。

\(\phi(27)=18\implies 139^{18}\equiv 1\pmod{27}\implies 139^{18*6+4}\equiv 139^4\equiv 4^4\equiv 13\pmod{27}\)

接下来的定理告诉我们,每个小于某个给定素数的自然数可以乘以另一个自然数,其乘积对该素数求模为1。这表明数字在进行模运算时有某种类似“倒数”的性质。

定理4.36:令\(p\)为一个素数,而\(a\in\mathbb{N}, 1\le a\lt p\),那么存在一个唯一的自然数\(b\),使得\(ab\equiv 1\pmod{p}\)

证明

由题设可以知道,\((a, p)=1\),所以有\(ax+py=1\)。注意到\(py\)\(p\)的倍数,所以有\(ax\equiv 1\pmod{p}\)。我们也知道这样的\(x, y\)是唯一的。QED。

定义:令\(p\)为一个素数,而\(a, b\)是这样的整数:\(ab\equiv 1\pmod{p}\),那么我们称\(a, b\)是对模数\(p\)的模倒数(invserse modulo p)。

练习4.37:试证明\(1\)\(p-1\)是它们各自对\(p\)的模倒数。

:(略)

定理4.38:令\(p\)为一个素数,而\(a, b\in\mathbb{N}, 1\lt a, b\lt p-1,ab\equiv 1\pmod{p}\)。那么\(a\ne b\)

证明

如果\(a=b\),我们可以得到\(a^2-1=(a-1)(a+1)\equiv 0\pmod{p}\implies (a-1)\equiv 0\pmod{p}\)或者\((a+1)\equiv 0\pmod{p}\)。在\([0, p]\)的范围内,\(a\)只能是\(1\)或者\(p-1\)。但这和题设矛盾。QED。

练习4.39:在\(\{2, 3, ..., 11\}\)中找到所有的\(a, b\)使得\(ab\equiv 1\pmod{13}\)

由于\(10\times 11=110\),所以这组数字两两乘积对13求模为1的数字有:14, 27, 40, 53, 66, 79, 92, 105。由此可以求解。

定理4.39:如果\(p\)是一个大于2的素数,那么\(2\times 3\times 4\times ...\times (p-2)\equiv 1\pmod{p}\)

证明

让我们考虑\(2\times 3\times 4\times ...\times (p-2)\)。这个序列中的所有数字都和\(p\)互质,所以根据定理4.38,每个序列中的\(a\)都能找到唯一一个也在序列中的\(b\)使得\(ab\equiv 1\pmod{p}\),而且\(a\ne b\)。所以\(2\times 3\times 4\times ...\times (p-2)\equiv 1\pmod{p}\)。QED。

让我们用威尔逊定理(Wilson's Theorem)来结束本章。这个定理可以算是我们针对一个数字和它的模倒数得出的最出名的结果。

定理4.41:如果\(p\)是一个素数,那么\((p-1)!\equiv -1\pmod{p}\)

证明:从定理4.40可以直接得出该结果。

威尔逊定理的逆定理也成立。

定理4.42:如果\(n\)是一个自然数,且\((n-1)!\equiv -1\pmod{n}\),那么\(n\)是一个素数。

费马、威尔逊以及……莱布尼兹

费马在1640年写给Frenicle de Bessy(1605-1675)的一封信中,表述了我们如今称为费马小定理的定理。显然,费马一贯地没有给出任何证明,只是说道:“要不是怕证明太长,我就把它寄给你了”。

直到1736年,欧拉发表了第一个证明。欧拉用到了二项式定理——费马应该很有可能也是直到这个的。

定理4.13到4.15中的代数证明由James Ivory(1765-1842)在1806年给出。当然,欧拉在1760年将费马小定理一般化,得到了欧拉定理(定理4.32)。

Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham(约965-1040)曾考虑过如下的问题:一个数字,除以2/3/4/5/6都余1,但可以整除7。他的计算方法给出了\((7-1)!+1\)。这个数字显然是一个解,也是威尔逊定理告诉我们的。

差不多过了800年后,Edward Waring(1736-1798)首次发表了威尔逊定理的一般表述,并将其归功于他的学生John Wilson(1741-1793)。Waring发表的文章中没有给出证明,人们相信Waring和Wilson都不知道如何证明。第一个公开发表的证明基于二项式定理,由拉格朗日于1773年发布,而且提供了威尔逊定理之逆定理的证明。

接下来的这位是莱布尼兹。1894年,人们注意到在汉诺威图书馆中收藏的据说是莱布尼兹的手稿。我们通常不会认为莱布尼兹是数论的先锋。但是,我们在这些汇总了他在1683年之前成就的手稿中找到了费马小定理和威尔逊定理的证明。他的成就比欧拉证明费马小定理早了53年,比拉格朗日第一次发表威尔逊定理的证明早了90年。

本章十分重要,也十分实用!

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