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252. 普罗塔哥拉悖论
在所有已知的悖论中，关于希腊法律教师普罗塔哥拉1的那个可能是最早的一个。他收了一个虽然家贫但是聪颖的学生，答应分文不收的教他，条件是学生修完课程并打赢他的第一场官司后，他要给普罗塔哥拉一笔特定的报酬。学生同意这么做。好吧，学生修完了他的学业，但是却一个官司也不打。过了一段时间，普罗塔哥拉把学生告上法庭要求支付那笔款项。下面就是他们在法庭上进行的陈词。
学生：如果我赢得本案，那么根据规定，我不需要支付；如果我输了本案，那么我还没有赢得我的第一场官司。而根据合同，我在赢得我的第一场官司之前都不需要支付给普罗塔哥拉。因此，无论我赢还是输这场官司，我都不用付钱。
普罗塔哥拉：如果他输了本案，那么根据规定，他必须支付（毕竟，这就是本案的立项）。如果他赢了本案，那么他已经赢得了他的第一场官司，那么他还得支付。不论如何，他都得付我钱。
谁说的对？
讨论：我真的不能确定我知道这个两难问题的答案。这个谜题（和本书的第一个谜题，就是那个关于我是不是上当了的一样），是一整个悖论系列的非常好的原型。我向一个律师咨询过这个问题，我得到的最好的答案就是他给出的。他说：“法院应该判学生胜诉，学生不用付钱，因为他还没有赢第一场官司。结案后，学生就欠普罗塔哥拉钱了。所以普罗塔哥拉应该马上回头再起诉他的学生。这次，法院应该判普罗塔哥拉胜诉，因为学生已经打赢了他的第一场官司。”
253. 撒谎者悖论
所谓的“撒谎者悖论”，又叫“伊壁孟尼德悖论”，是一整个系列悖论的基石，这一系列被称为“撒谎者悖论”。（伙计们，这听起来非常绕，是吧？）这一悖论的原型是说，有这么个克里坦人叫伊壁孟尼德，他说：“所有的克里坦人都是撒谎者。”
此时，我们还根本没有得到什么悖论。这相当于一个君子小人岛上的一个居民做了如下陈述：“岛上所有的人都是小人”――我们从这个陈述也是得不出悖论的。能得到的正确结论是：(1) 说话者是个小人；(2) 岛上至少有一个君子。同样的，在上述形式的伊壁孟尼德悖论中，我们可以得到伊壁孟尼德是个撒谎者而且至少有一个克里坦人是诚实的。没有什么悖论。
但是，如果伊壁孟尼德是唯一的一个克里坦人，我们就真的得到悖论了。这就好比君子小人岛上唯一的一个居民说所有岛上的居民都是小人一样，这等于他说他自己是小人，而这是不可能的。
这个悖论更容易理解的版本是某人说：“我现在在撒谎。”那他到底是不是在撒谎呢？
我们用下面这种形式来指代“撒谎者悖论”这样形式的悖论。考虑下面这个框里的陈述：
这句话是假的。
这句话是真还是假？如果它是假的，那它是真的；如果它是真的，它又得是假的。
我们稍后再讨论如何消除这一悖论。
254. 撒谎者悖论的双重变例
英国数学家P. E. B.尤丹在1913年首先引入了如下版本的撒谎者悖论。这个悖论有时被称为“尤丹纸牌悖论”。我们拿一张纸牌，在其中一面写上：
(1) 这张牌另一面的句子是真的。
然后把牌翻过了，在另一面写上：
(2) 这张牌另一面的句子是假的。
我们将得到如下的悖论：如果第一句为真，那么第二句也为真（因为第一句是这么说的），因此第一句为假（因为第二句是这么说的）。如果第一句为假，那么第二句就是假的，因此第一句话不是假的而是真的。因此第一句话为真等价于它为假。而这是不可能的。
255. 另一个变例
撒谎者悖论另一个为人熟知的变例由写在卡片上的如下三句话构成：
(1) 这句话共有八个字。
(2) 这句话共有五个字。
(3) 卡片上正好有一句话为真。
句子(1)显然为真，句子(2)显然为假。问题出在句子(3)。如果句子(3)是真的，那么有两句真话――句子(1)和句子(3)，这和句子(3)所说矛盾，所以句子(3)得是假的。反之，如果句子(3)是假的，那么句子(1)就是唯一一句真话，这意味着句子(3)必定是真的！这样一来，句子(3)为真等价于它为假。
讨论：好吧，这三个悖论的推理错在哪里？问题很微妙也颇有争论。很多人（有趣的是，他们都是哲学家而不是数学家）认为将所有自指的句子排除出去是合理的做法。老实说，我觉得这样的看法完全是无稽之谈。类似“这句话共有八个字”这样的自指句，含义清晰明了，没有任何含糊。只要点点字数，你就知道这句话肯定是真的。同样，“这句话共有五个字”这句话，尽管它是假的，含义也十分明确：它说它有五个字，而实际上却不是如此。但是句子本身所表达的意思没有任何疑问。
另一方面，考虑下面这句句子：
这句句子是真的。
上面这句话也不会引起任何悖论。无论假定这句句子为真或为假，都不会产生逻辑上的矛盾。尽管如此，这句话没有任何意义。理由如下。
我们的指导原则是，要理解一句句子为真的意思是什么，我们必须先了解句子本身的意思是什么。比方说，X为句子：二加二等于四。在我能理解X为真意味着什么之前，我必须理解X中出现的每个字的意思，知道X断言的是什么。在本例中，我确实知道X中所有字的意思，也知道X的意思是2+2=4。既然我知道2+2确实等于4，于是我知道X必定为真。但是如果我不知道2+2=4，我是无法判定X为真的。事实上，如果我不是先知道2+2=4的意思，我根本无法知道这意味着X为真。这就解释了我所说的：一个句子X为真的意思，取决于X本身的意思。如果X具有这样一个古怪的特性，以至于X的意思本身要依赖于X的意思是否为真，那么我们就陷入了一个真正的死循环。
上面框里的话正是这个情形。在我理解句子为真的意思之前，我必须先知道句子本身的意思。但是，句子本身的意思又是什么呢？句子要说些什么？它只是说句子为真，可我还不知道句子为真的意思是什么。简而言之，我不理解这个句子为真意味着什么（更不用说句子本身是真是假），除非我先理解句子的意思。而我无法理解句子的意思，除非我先知道句子为真的意思是什么。因此那句话根本什么信息都没有传递。具有如此特性的句子在技术上被称为非良基的句子。
撒谎者悖论（以及所有的变例）都建立在使用了无基句的基础上。（我用“无基”来简称“非良基”。）253题中的表述“这句话是假的”就是个无基句。254题中，两面上的哪句话都是无基的。255题中，前两句是良基的，而第三句却不是。
顺便说一下，就鲍西娅N世的追求者在他的推理过程中出了什么问题，我们可以说出更多的道理了（见第五章鲍西娅的盒子）。所有早期的鲍西娅们只用到了良基句，而鲍西娅N世巧妙的使用了无基句，从而迷惑了她的追求者。上一章中前几个证明也犯了同样的错误。
256. 这又是怎么回事？
我们再回头看看我们的老朋友：鲍西娅盒子问题中的贝里尼和切里尼。这两个手艺人不仅制作盒子，也制作标牌。和做盒子时一样，切里尼每制作一个标牌就在上面刻一句假话，而贝里尼每制作一个标牌就在上面刻一句真话。同样我们假定当时只有贝里尼和切里尼制作标牌（他们的儿子只制作盒子，不制作标牌）。
你看到这样一块标牌：
这个标牌由切里尼制作。
谁制作了这个标牌呢？如果是切里尼制作的，那他在上面写了句真话――这是不可能的。如果是贝里尼制作的，那上面的句子是假的――这也不可能。所以是谁制作的呢？
你可不能说这句话是无基句来解决这个问题了！这句话显然是良基的，它陈述的是一个历史性的事实：标牌由切里尼制作。如果它由切里尼制作，那标牌上的话为真；如果不是，则为假。那么答案是什么呢？
当然，答案是我给了你矛盾的信息。如果你真的碰上这样的一块牌子，那只能意味着要么切里尼有时在牌子上写真话（和我告诉你的信息矛盾），要么至少有另一个标牌制作人偶尔在标牌上写假话（还是和我告诉你的信息矛盾）。因此这不是悖论，而是骗局。
顺便问一句，你想出来这本书叫什么了吗？
257. 吊死还是淹死？
这个流行的谜题中说，某人犯了死罪。他需要做一个陈述。如果陈述为真，他将被淹死；如果陈述为假，那么他要被吊死。他应该做什么陈述使得行刑者不知所措？
258. 理发师悖论
这又是一个广为人知的谜题。某个小镇上有一个理发师，他给所有不自己刮胡子的居民刮胡子，从不给自己刮胡子的居民刮胡子。问题是他要不要给自己刮胡子。如果他刮，那他违背了规则，因为他在为给自己刮胡子的居民刮胡子。如果他不刮，他又要违背规则，因为他没有给不给自己刮胡子的居民刮胡子。理发师该怎么办呢？
259. 这又是怎么回事？
在君子小人岛上有两位居民A和B。他们做了如下陈述：
A：B是小人。
B：A是君子。
A是君子还是小人？B呢？
257.
他只要说：“我会被吊死。”
258.
答案是，逻辑上不可能存在这样的一个理发师。
259.
你应该说作者又在撒谎了！我描述的场景是不可能出现的。它其实就是尤丹纸牌悖论，只不过换了件略微不同的外衣而已。（见254题。）
如果A是君子，那B就确实是小人，因此A就真的不是个君子！如果A是小人，那B真的就不是个小人，他是个君子，因此他的陈述为真，所以A是个君子。A不管是君子还是小人，都将导致矛盾。
某人曾经将悖论定义为建立在自己之上的真理。确实如此。很多悖论中蕴藏着一个概念，只要稍作改动就能导致一个重要的新发现。下面的三个例子对这一原则进行了很好的诠释。
260. 这个故事错在哪里？
克雷格探长有次访问了一个社区并和其中一位居民交谈。他是一位社会学家，名叫麦克斯纳德。麦克斯纳德教授对克雷格做了如下的社交描述：
“本社区的居民组成了众多的俱乐部。一位居民可以属于多个俱乐部。每个俱乐部都用一个居民的名字命名，但是没有两个俱乐部用同一个居民的名字命名，而每个居民也有一个以他名字命名的俱乐部。一个居民不一定就是以他名字命名的俱乐部的成员。如果他是，那么他被称为合群的；如果他不是，那么他就被称为离群的。有趣的是，社区里所有离群的居民也组成了一个俱乐部。”
克雷格探长想了一会，突然意识到麦克斯纳德看来不是个很好的社会学家。他的故事站不住脚。为什么？
答案：这其实就是换了新装的理发师悖论。
假定麦克斯纳德说的是真的。那么所有离群居民的俱乐部也以某个人的名字命名――比如说杰克。因此我们称这个俱乐部为“杰克俱乐部”。而杰克要么是合群的，要么是离群的。如果他是合群的，那么杰克属于杰克俱乐部，但是只有离群的人士才属于杰克俱乐部，所以这是不可能的。反之，如果杰克是离群的，那么杰克属于离群人士俱乐部，也就意味着杰克属于杰克俱乐部（也就是离群人士俱乐部），这就是的杰克成为合群。无论如何，我们都得到矛盾的结果。
261. 社区里有没有探子？
克雷格探长有次访问了另一个社区，并和他的一位老朋友，一位社会学家麦克斯纳夫进行了交谈。克雷格和麦克斯纳夫一起在牛津上学，并深知他的老朋友在做判断方面一向无懈可击。麦克斯纳夫向克雷格描述了如下这样一个社区：
“和其它社区一样，我们也有俱乐部。每个居民都正好有一个以他名字命名的俱乐部，而每个俱乐部也以某个居民的名字命名。不过，在我们社区，如果一个人是某个俱乐部的成员，他可以是秘密的或者公开的成员。如果谁不是以他名字命名的俱乐部的公开成员，他被称为存疑的。如果知道某人是以他名字命名的俱乐部的秘密成员，他被称为探子。有趣的是，这个社区里所有存疑成员的集合也构成了一个俱乐部。”
克雷格探长想了一会，意识到这个故事和上一个故事不同，是完全站得住脚的。而且，从中还能得出有趣的结论，也就是，有可能判定社区里是不是真的存在探子。
有吗？
答案：所有存疑成员的俱乐部也以某个居民的名字命名――姑且称他为约翰。我们就称这个俱乐部为“约翰俱乐部”。
约翰要么是、要么不是约翰俱乐部的成员。如果他不是，那他不会存疑（因为每个存疑的居民都是约翰俱乐部的成员）。这意味着约翰是约翰俱乐部的公开成员。所以，如果约翰不是约翰俱乐部的成员，那约翰就是约翰俱乐部的公开成员，这太古怪了。因此，约翰必定是约翰俱乐部的成员。既然约翰俱乐部的每个都是存疑的，那约翰也必定存疑。因此约翰不是约翰俱乐部的公开成员。但是他还是其中的成员，所以他是个秘密成员――换句话说，他是那个探子！
我们也许注意到了，解决了前一题260题后，解决这个题有一个更简单的方法。也就是说，我们注意到，如果社区里没有探子，那么存疑就和离群没有区别了，因此存疑居民的集合就和离群居民的集合一样。这也意味着所有离群的居民的集合构成了一个俱乐部。但是我们在260题中已经证明，所有离群人士的集合构不成一个俱乐部。因此社区里没有探子的假设将导致矛盾，也因此社区里必定有一个探子（但是，在本证明中，我们不知道是谁）。
这两个证明对数学家所说的“构造性证明”及“非构造性证明”提供了完美的演示。第二个证明是非构造性的，因为尽管它证明不可能没有探子，但是它没有指明任何一个实际的探子。相反，第一个证明被称为构造性的，因为它确实指明了一个探子，也就是那个（我们称为“约翰”的）人，他的名字被用来命名所有存疑居民的俱乐部。
262. 宇宙问题
有这么个宇宙，居民们的每个集合都形成一个俱乐部。该宇宙的登记员想为每个俱乐部以一个居民的名字命名，方法是没有两个俱乐部以同一人命名，而每个居民都有一个俱乐部以他命名。
如果这个宇宙只有有限数量的居民，这个方案将是行不通的。这是因为俱乐部要比居民数多。例如，如果有5个居民，那就要有32个俱乐部（包括空集）；如果有6个俱乐部，得有64个俱乐部。一般而言，如果有n个居民，就必须有2^n个俱乐部。不过，这个特定的宇宙中正好有无数多个居民，所以登记员看不出有什么理由他的方案会行不通。亿万年过去了，他一直在尝试构造这样的一个方案，但是到目前为止都行不通。他的失败是因为他本身不够聪明呢，还是他所要达到的目标根本就是不可能的？
答案：他所尝试的是不可能的。这个著名的事实由数学家乔治・康托2发现。假定登记员成功地将所有俱乐部以所有居民命名，而且没有两个俱乐部以同一个居民命名。同样，如果一个居民不是以他名字命名的俱乐部成员，我们称他离群。该宇宙中所有离群居民的集合当然构成一个良基的集合，我们还知道居民的每个集合都构成一个俱乐部。因此我们得到了一个所有离群居民的俱乐部，而这不可能。不可能的理由和260题一样：这个俱乐部必须以某个居民命名，而此人既不可能合群，又不可能离群，否则必然导致矛盾。
263. 已列集的问题
这个问题和上题一样，只是换了件外衣。本题涉及到的一些概念将在下一章再次提到。
有这么位数学家藏了一本书，叫做《集合之书》。每一页上都书写了一个数集的描述。我们用“数”这个字表示正整数1、2、3、……n、……。列在任何一页上的任何集合被称为已列集。书页都是顺序编号的。
问题是找出一个集合，而它没有被列在这本书的任何一页上。
答案：给定任意一个数字n，如果n属于第n页上列出的集合，我们称n为异常数；如果n不属于第n页上列出的集合，我们称n为正常数。
正常数的集合不可能被列出。如果是，那么列出它的那一页的页数既不能是正常数，也不能是异常数，否则必然导致矛盾。