丢番都

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丢番都(Diophantus)(公元3世纪)——生平与成就

虽说历史学家只能不那么确定地将丢番都的生卒框在公元3世纪,对于他的生平我们还是有一些了解的。我们能了解到这些,是来自他的一位朋友在丢番都去世后不久留下的一道由文字描述的问题:

  • 他的童年占据了他生命的1/6。
  • 又过了生命的1/12,他长出了胡须。
  • 又过了生命的1/7,他成家了。
  • 5年后他有了儿子。
  • 可惜的是他的爱子只活了父亲生命的一半。
  • 父亲于4年后离世。

这是个很典型的例子,展示了丢番都伟大的作品《算术》,本卷也有节选。试试你能不能解出丢番都生平的谜题。答案会在本引介的最后揭晓。

关于他所生活的时代最好的证明来自他引用和引用他的著作。在他关于多边形数的著作中,丢番都提供的定义由希腊数学家许普西克勒斯在公元2世纪给出。而在这范围的另一头,亚历山大数学家西昂在其4世纪中叶的著作中提到了丢番都。历史学家将丢番都的生平设定在3世纪中期,根据的是11世纪一位拜占庭学者和政治家普赛鲁斯的一封信,其中提到拉蒂西亚主教安那托里乌斯大约在270年有专门论述古埃及计算的文章,其中提到了他的朋友亚历山大的丢番都。

而这和丢番都在其《算术》一书开篇所做的献辞是一致的:

鄙人之最受人尊敬之友狄俄尼索斯阁下台鉴,吾已知君之渴望于探究数字之问题,谨此吾试从科学建立之基础出发,为君呈现居于数字之中之自然法则及力量。

丢番都很有可能将该献辞献于那位在247年到264年间担任亚历山大主教的迪俄尼索斯。自亚历山大大帝于公元前331年建立起亚历山大城之后不久,该城就已经成为希腊的文化中心。到3世纪,司空见惯的场景是不断成长的基督教社区与已经根深蒂固的罗马及希腊社区之间的冲突。到260年左右,亚历山大城的日常事件中就有对基督教社区的迫害。贯穿全城的大路通常堆积着基督教殉难者的遗体。饥馑和瘟疫也时时困扰着这座城市。身处这样的环境,我们猜想丢番都和狄俄尼索斯之间的友谊只能意味着丢番图是一位基督徒。

《算术》不是毕达哥拉斯学派传统意义上的理论著作。欧几里德关于不存在一个最大的素数的证明在《算术》中根本就是不相称的。反之,《算术》是逻辑或者说算术计算的著作。其根源更多的来自古埃及、古巴比伦以及古印度的数学,而不是来自古希腊。

在其引言中,丢番都承诺的是一本由13卷书构成的巨著。但是,直到最近我们已知的不过6部。其它的书一定很早就散佚了。西方世界最早所知的第一位女数学家,亚历山大的西昂的女儿希帕蒂亚为《算术》一书写下了最早期的评论。关于希帕蒂亚我们所知甚少,只知道在415年她被一群基督教暴徒谋杀,他们还将亚历山大城的大图书馆烧成了灰烬,烧毁了最了不起的经典思想的宝库。按照10世纪百科学者苏达斯的说法,她进行评论的书籍包括《算术》,托勒密的《天文学》,以及阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》。

在西方世界,《算术》一书也许逃过了亚历山大大图书馆被焚毁的浩劫,以手稿的方式流传在君士坦丁堡,并为普赛鲁斯见到。该手稿直到不久前都是西方所知的各个《算术》抄本的原本。就在不到30年前,学者们在伊朗东北部伊斯兰圣城马什哈德的伊玛目礼萨圣陵发现了一本阿拉伯语的手稿,其中包含了之前未知的四卷《算术》1。一位诞生于叙利亚之赫利奥波利斯城,有着希腊血统的基督徒库斯塔,将其翻译为卢加语。

在引言中,丢番都一开始就定义了变量从二次方开始到六次方的不同类型的数,即:

  • \(x^2\),平方,符号为D上标Y,即\(D^Y\)
  • \(x^3\),立方,符号为\(K^Y\)
  • \(x^4\),平方之平方,符号为\(D^YD\)
  • \(x^5\),平方之立方,符号为\(DK^Y\)
  • \(x^6\),立方之立方,符号为\(K^YK\)

他接着写道:

如果数没有任何这些特性,只是其本身作为一个无法确定的单位的倍数,被称为“数字”,其符号为ç。

这个符号有点像希腊字母σ,丢番都用来表示未知量——他将其表述为“数字”。为了与现代习惯用法一致,我们将使用x。

丢番都是第一位引入表示减法的符号的数学家。这个符号看起来有点像这样:

这也许代表了希腊语中动词leipein(需要)的缩写,因为leipein以希腊字母Λ和Ι开头。对于加法或者乘法,丢番都没有引入符号。表示加法时,他只是简单地将两个数字或者变量放在一起。他不需要乘法的符号,因为他的参数永远都是有限整数或者分数。

对丢番都来说,正的表达式表示了“来到”,而负的表达式意味着“需要”。在他的问题中,正表达式总是出现在负表达式之前。对于乘法,他给出了两个基本原则:

  • “需要”乘以“需要”,得到“来到”。
  • “来到”乘以“需要”,得到“需要”。

丢番都认为,如果没有某些正的数量让负的数量去相减,一个负的数量根本无法存在。他认为任何得到负的结果的等式都是无用的,更不用说得到无理数或者虚数答案的等式了。

对丢番都的工作进行评价的人无法提出任何现实的分类,去将《算术》中的问题加以归纳,他们对此感到绝望。第一本书包含的是确定的算术等式。第二本到第五本书的大部分包括不定问题,表达式中包含两个或更多个变量的一次方或二次方,等于一个平方或者立方。第六本书着重于以算术角度来研究直角三角形,将其边进行一些线性或者二次函数的计算,从而得到一个平方或者立方。

由于每个问题都用到了其特殊的方法,我在这里为大家分析其中的一个问题(第五本书的问题九)。问题是:

将单位1分为两部分,使得任一部分加上某个给定的数后,结果都是一个平方数。

这个给定的数是个整数,而丢番都更令人发噱地告诉我们:

这个给定的数不能是奇数,而且它的两倍加1不能被任何加1后能被4整除的素数整除。

这一条件表明丢番都知道,一个整数的平方除以4的余数不可能为3。(你可以很容易的证明这点,比如将0,1,2,3平方然后除以4,看看余数是多少。)丢番都不再给出别的条件,就用6作为那个给定的数。

因此,13必须被分为两个平方数,且每个平方数都大于6。如果我们将13分成两个平方数,且其差小于1,我们就解决了问题。
取13的一半,也就是\(6\frac{1}{2}\),我们必须为\(6\frac{1}{2}\)加上一个小分数使之成为一个平方数,或者乘以4后,我们需要使得\((\frac{1}{x^2} +26\))为一个平方数,即:
\(26x^2+1\)=一个平方数=\((5x+1)^2\),从而得到\(x=10\)

乘以2也可以去掉分母,但是2不是平方数,所以丢番都选择乘以4这个平方数。将\(\frac{1}{x^2} +26\)变换为\(26x^2+1\)是很一般的、直观的代数。但是将\(26x^2+1\)重新表达为平方数\((5x+1)^2\)却是地道的丢番都方法。这一步要得到一个以\(x^2\)表示的接近\(26x^2\)的式子——因为他要求出两个相加为1的数。完成这步后,他继续道:

亦即,为了使26成为一个平方数,我们要加上1/100,或者说要使\(6\frac{1}{2}\)成为平方数,我们要加上1/400,也就是:
\(1/400+6\frac{1}{2}=(51/20)^2\)
所以,我们必须将13分成两个平方数,他们的边要尽可能的等于\(\frac{51}{20}\)

我们将这个等式改写一下,以便更容易理解:

\(6\frac{1}{2}=(\frac{51}{20})^2-(\frac{1}{20})^2或者13=2*(\frac{51}{20})^2-(\frac{1}{20})\)

丢番都继续写道:

由于\(13=2^2+3^2\)。因此我们要找两个数。3减去第一个数等于\(\frac{51}{20}\),所以第一个数等于\(\frac{9}{20}\);2加上第二个数等于\(\frac{51}{20}\),因此第二个数等于\(\frac{11}{20}\)

丢番都接下来用x替代\(\frac{1}{20}\),并继续道:

我们将需要的平方数分别表示为\((11x+2)^2\)\((3-9x)^2\)

回忆一下基本代数,这两个式子可以分别展开为\(121x^2+44x+4\)\(9-54x+81x^2\),因此其和等于\(202x^2-10x+13=13\)

因此,\(x=\frac{5}{101}\),而两边为\(\frac{257}{101}\)\(\frac{258}{101}\)

用6减去各自的平方,我们得到单位1的两个部分:\(\frac{4843}{10201}\)\(\frac{5358}{10201}\)

你有没有解出本章一开始提到的问题?用现代数学表述,它就是解下面的等式:

\(\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x=x\)

答案是x=84。因此,

  • 丢番都的童年时代延续到他14岁。
  • 7年后他21岁,长出了胡须。
  • 12年后他33岁时结婚。
  • 5年后他38岁得子。
  • 他的儿子在42岁时去世,而此时丢番都80岁。
  • 4年后,他也去世,享年84岁。

  1. 参考资料,学者F Sezgin在1968年发现。 

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