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如何证明一切

我觉得对一个喝醉了的数学家的精确描述就是他大喊道：“我能证明一切！”

在柏拉图的对话篇《欧西德莫斯》¹中，苏格拉底向克里托人描述诡辩家兄弟欧西德莫斯和迪欧尼索多勒斯（Dionysodorus）那令人惊叹的辩证天赋时，是这么说的：“他们的本事真的很了不起，他们可以驳倒任何命题，无论是真是假。”在对话篇的稍后部分，苏格拉底描述了迪欧尼索多勒斯是如何向他的一位听众科特西普斯证明后者的父亲是条狗。论证如下：

迪欧：你说你有条狗？

科特：是啊，还很凶呢。

迪欧：它有小狗吗？

科特：有，而且和它长得很像。

迪欧：那那条狗是他们的爸爸喽？

科特：是的。我肯定我看到它和小狗的妈妈在一起。

迪欧：它不是你的吗？

科特：确实如此。

迪欧：那么，它既是爸爸，又是你的。因此，他是你的爸爸，而那些小狗是你的兄弟了。

这些伟大的诡辩家的故事使我深受鼓舞。在本章中，我也要向大家证明大量古怪惊奇的东西。

A. 诸如此类事情的证明

238. 证明大头当或者大头丁存在

这不是要证明大头丁和大头当都存在，仅仅证明他俩中至少有一个存在。而且，从证明中无法得知他俩中到底谁确实存在。

我们面前有这样一个盒子，上面写了这么三句话：

(1) 大头当不存在；

(2) 大头丁不存在；

(3) 这个盒子里至少有一句话是假的。

让我们考虑句子(3)。如果它是假的，那么实际情况就不是三句话中至少有一句是假的，也就是说三句话都是真的，那么句子(3)也是真的，这是一个矛盾。因此句子(3)不可能假，它必定为真。因此三句话中确实至少有一句是假的。但假话不会是(3)，因此句子(1)或者句子(2)是假的。如果句子(1)为假，那么大头当存在；如果句子(2)为假，那么大头丁存在。因此要么大头当存在，要么大头丁存在。

有次我给一个大学生数学俱乐部做有关我的逻辑谜题的讲座。逻辑学家Melvin Fitting将我介绍给大家。他是我以前的一个学生，对我非常了解。他的介绍真正抓住了本书的精神，几乎要比该书本身都要好！他说：“现在我来介绍斯穆里安教授。他将向诸位证明，要么他不存在，要么你们不存在，但是你们不知道到底是谁不存在。”

239. 证明大头嘟存在

(1) 大头嘟存在；

(2) 这个盒子里两句话都为假。

我们先看句子(2)。如果它是真的，那么两句话都为假，因此句子(2)也是假的。这是矛盾的。所以句子(2)是假的。因此，情况就不是两句话都假，至少有一句话为真。既然句子(2)不为真，那肯定是句子(1)为真。因此大头嘟存在。

240. 圣诞老人又是怎么回事？

关于圣诞老人是不是存在，看上去怀疑的论调不少。比方说，在马克斯兄弟的电影《歌剧院一夜》中，格鲁乔正和齐可讨论一个合同。他们谈到这个条款，条款说如果签署合同的任意一方被证明在签署合同的时候神志不清，那么整个合同自动无效。这是我们所知的清醒条款。齐可说道：“你别糊弄我！可没什么清醒条款！”

我也记得我高中那会，有一个关于梅・韦斯特²的笑话：为什么韦斯特不会和圣诞老人同在一个电话亭里？答案是：因为圣诞老人不存在。（这个笑话也可以很恰当的被称为一个“本体论”笑话。）

好吧，尽管存在这样的摩登怀疑论点，我将给出三个证明，证明圣诞老人确实而且必定存在，其存在的正式性不容任何怀疑。这些证明都源自巴克利・罗瑟³的方法，并加以变化。他那种方法可以证明任何事情。

证明一：我们用对话体的形式来呈现这个证明。

逻辑学家甲：如果我没有说错，那么圣诞老人存在。

逻辑学家乙：是啊，当然，如果你没有说错，那么圣诞老人存在。

逻辑学家甲：因此我的陈述为真。

逻辑学家乙：当然！

逻辑学家甲：那么我就没有说错，而你也承认，如果我没有说错，那么圣诞老人存在。因此圣诞老人存在。

证明二：上面的证明只是巴克利・罗瑟如下证明的文学加工版：

如果这个句子为真，那么圣诞老人存在。

这一证明后的思路和君子小人岛上的居民说“如果我是君子，那么如何如何”，那么他必定是君子，如何如何必定为真的思路是一样的。

如果框中的句子为真，那圣诞老人当然存在了。（因为如果这个句子为真，那么“如果这个句子为真，那么圣诞老人存在”这句话也为真，也一次圣诞老人存在。）因此句子是真的，而如果句子是真的，那么圣诞老人存在。由此可以推论出圣诞老人存在。

问：如果一个君子小人岛上的居民说：“如果我是君子，那么圣诞老人存在。”那么能否证明圣诞老人存在呢？

答：当然可以。不过，由于圣诞老人并不存在，无论是君子还是小人都不会做这个陈述的。

证明三：

这个句子是假的而且圣诞老人不存在。

我将证明的细节留给读者。

讨论：这些证明的错误在哪里呢？其内在的错误和鲍西娅N世的追求者进行推理时所犯的错误完全一样：其中涉及到的一些句子是没有意义的（见第15章的讨论），因此不能假定它们为真或者为假。

我们下面要考虑的证明建立在一个完全不同的原则上。

241. 证明独角兽存在

我想证明给大家看，存在着一只独角兽。很显然的，要做到这点，只要证明“存在一只存在的独角兽”这个（可能）更强的陈述就足够了。（我说“一只存在的独角兽”当然是说一只独角兽，且它存在。）显然，如果存在一只存在的独角兽，那必定存在一只独角兽。所以我要做的就是证明一只存在的独角兽存在。于是，只有两种可能性：

(1) 一只存在的独角兽存在；

(2) 一只存在的独角兽不存在。

可能性(2)明显是个矛盾：一只存在的独角兽怎么可能不存在？正如一只蓝色的独角兽必定是蓝色的，一只存在的独角兽也必定存在。

讨论：这个证明错在哪里？这个证明不是别的，它是笛卡尔关于上帝存在的本体论证明的精华部分。笛卡尔将上帝定义为具备一切特性的东西。因此根据定义，上帝必定具备存在的特性。所以上帝存在。

伊曼努尔・康德声明笛卡尔的论证无效，他的理由是存在不是一个特性。我认为这一证明中有一个要严重的多的错误。我不打算争论存在是不是一个特性。我要指出的是，即使存在是个特性，这个证明仍然是错误的。

先考虑我对独角兽存在（照抄原文）的证明。我认为，真正的错误在于单词“一”的双重含义。它在某种语境下意味着“每一”，而在别的语境下意味着“某一（至少有一）”。比如我说：“一只猫头鹰长着大眼睛”，我的意思是猫头鹰们都有大眼睛，所有的猫头鹰都有大眼睛，每一只猫头鹰都有大眼睛。但如果我说：“一只猫头鹰在屋里”，我肯定不是指所有的猫头鹰都在屋里，而只是说存在着那么一只猫头鹰在这屋里。因此，当我说“一只存在的独角兽存在”的时候，到底是说所有存在的独角兽存在，还是说存在着一只存在的独角兽，就不清楚了。如果我指前者，那就是真的――当然所有存在的独角兽必定存在。怎么可能有一只存在的独角兽不存在呢？但是这不意味着在第二种含义下，陈述还是真的。换句话说，不能证明存在着一只存在的独角兽。

笛卡尔的证明与之类似。这一特性能推出的是所有上帝都存在，也就是说，满足笛卡尔的上帝的定义的任何东西也必定有存在的特性。但是，这并不意味着必定存在着一个上帝。

242. 用吓人来证明

有一个著名的轶事，讲的是狄德罗应女皇邀请访问俄国皇室期间的故事。他相当自由地表述自己的无神论观点。女皇很是开心，但她的一位议员却建议对这样的言论还是要加以审核为好。他们于是秘密接触了数学家欧拉。他当时也在场，而且是个信徒。欧拉声称他有一个上帝存在的证明，如果狄德罗愿意听的话，他可以当着大家的面说一说。狄德罗很高兴的同意了。欧拉欺负狄德罗没有数学方面的知识，走向狄德罗并严肃的说道：“A平方减B平方等于A减B乘以A加B，因此上帝存在。回答吧！”狄德罗狼狈不堪、窘迫异常，四周响起阵阵狂笑。他上奏要求立刻返回法国，并被应允了。

243. 证明你要么不一致要么不谦虚

我在30年前就想到了这个证明并告诉了不少学生和数学家。几年前，有人告诉我他在某本哲学杂志上看到过，但记不起作者是谁了。不管了，证明是这样的。

人脑不过是一架容量有限的机器，因此你相信的命题是有限的。我们令这些命题为\(p_1, p_2, … p_n\)，其中n是你相信的命题的数目。所以你相信\(p_1, p_2, … p_n\)中的每一个。但是，除非你很狂妄，你知道你偶尔也会犯错，因此你所信的不都是真的。所以，如果你不那么狂妄，你知道在\(p_1, p_2, … p_n\)这些命题中至少有一个是错的。但是你还是相信\(p_1, p_2, … p_n\)中的每一个命题。这是一个显然的矛盾。

讨论：这个论证有什么错误？在我看来，没有什么错误。我确实认为，一个正常的谦虚的人必定是不一致的。

B. 更多的猴戏

244. 罗素和教皇

伯特兰・罗素告诉一位哲学家，一个假命题可以蕴含任何命题时，他很是震惊。他说：“你是说，从一个2+2=5的陈述可以推导出你是教皇？”罗素回答说：“没错。”哲学家问道：“你能证明吗？”罗素答道：“当然可以”，于是当场发明了如下的证明：

(1) 假定2+2=5；

(2) 从等式两边同减去2，得到2=3；

(3) 交换位置，得到3=2；

(4) 两边同减去1，得到2=1。

于是得到，教皇和我是两个人。既然2=1，那么教皇和我是一个人。所以我就是教皇。

245. 哪个好？

永远的快乐和一块火腿三明治，哪个更好？看起来是永远的快乐要好一些。但并非如此！毕竟，没有东西比永远的快乐好，而一块火腿三明治总比没有东西好。因此一块火腿三明治要比永远的快乐好。

246. 哪只钟好？

这一题是刘易斯・卡罗尔出的。一只钟每天慢一分钟，一只钟根本不走。哪只钟好呢？按照卡罗尔的看法，那只不走的钟要更好，因为一天内它给出两次正确的时间，而另一只要每两年才给出一次正确的时间。“但是，”你可能会问，“如果你不知道什么时候对，一天对两回又有什么用呢？”好，假定那只钟指着八点，那么8点钟的时候，钟就是对的。“但是，”你接着问，“我怎么知道什么时候是八点了呢？”答案很简单。你要认认真真的盯着钟看，而在钟对的那一瞬间，就是8点。

247. 证明存在一匹长着十三条腿的马

这个证明不是我的原创，它来自有关数学家的民间传说。

我们希望证明至少存在一匹马，它不多不少有十三条腿。首先，把宇宙中所有的马都漆上要么蓝色要么红色。上色的规则如下：在给马上色之前，数一数马有几条腿。如果它正好有十三条腿，那给它漆上蓝色；如果它有少于或多于十三条腿，给它漆上红色。好了，你已经给宇宙中所有的马都上了色。蓝色的马有十三条腿而红色马的腿不是十三条。随机挑一匹马。如果它是蓝色的，那我的断言就已经得证了。如果是红的，那再随机挑第二匹马。如果第二匹马是蓝色的，那我的断言也得到证明。但如果第二匹马是红色的呢？啊，那就是另外一码子事儿了。不过那是一个矛盾，因为根本就是一码事儿啊！⁴

248.

我想到了一个关于亚伯拉罕・林肯的机智问答。如果狗的尾巴被称为一条腿，那一只狗有几条腿呢？林肯的回答是：“四条。把尾巴称为腿并不等于它就是一条腿。”

249. 我最喜欢的方法

这是我所知的把戏中最好的一个。用它来证明无论什么东西都绝对是无懈可击的。唯一的缺点是只有魔术师可以做到。⁵

我是这么做到的：假定我要向某人证明我是德古拉。我说：“你所必须知道的逻辑就是，给出任意两个命题p和q，如果p为真，那么p和q这两个命题中至少有一个为真。”基本上所有人都会认同这点。“非常好。”我边说边从我的口袋里拿出一叠牌，“请看，这张牌是红的。”然后我将这张红牌面朝下放在我的“受害者”的左手掌上，让他用右手掌盖住。然后我继续说：“令p为命题：你所持的牌是红色的，令q为命题：我是德古拉。既然p为真，那么你是否确定p或者q为真呢？”他表示同意。“好，现在，”我继续道，“p肯定是假的，把牌翻过来。”他将牌翻过来，出乎他意外的是，牌是黑的！“因此，”我得意的宣布，“q才是真的，所以我是德古拉！”

C. 一些逻辑珍品

上两节中，我们看到了一些无效的证明，但是一眼看上去它们都有效。现在我们来看相反的方面：我们将考虑一些原则，初看起来它们非常疯狂，但最终确实是正确的。

250. 喝酒原理

这个原则在现代逻辑学中扮演着重要的角色。有几个我的研究生亲切地称之为“喝酒原理”。之所以给它起这个名，大概是因为我在讲这个原则之前总是用下面这个笑话开场。

酒吧里有一个人。突然他砸了下他的拳头说：“给我来辈酒，给所有切它人也来辈酒，因为只要我合酒，每个人都得合酒！”⁶于是所有屋内的人都喝到了酒，都很高兴。过了一会，他又说：“给我再来辈酒，给所有切它人也再来辈酒，因为只要我又合酒，每个人也得再合酒！”于是，每个人都喝到了第二杯酒，也都很高兴。不久，此人往桌上撒下酒钱，说道：“我否钱的时候，每个人都得否钱！”

笑话讲完了。现在的问题是：是不是真的存在这么一个人，如果他喝酒的话，所有的人都喝酒？答案会让大家吃惊不小的。

这个问题有一个更戏剧性的版本，它来自我和哲学家约翰・培根的对话：证明地球上有这么个女人，如果她不再生育，那么人类就将灭绝。

喝酒原理有一个对称形式，是这样的：证明至少有这么一个人，如果其它人喝酒，他就喝酒。

答案：是的，确实存在着这么一个人，如果他（或她）喝酒，所有人都喝酒。从本质上说，这个结论来自那条假命题蕴含任何命题的古怪原理。

我们这么来看这个问题。每个人都喝酒要么是真的，要么是假的。如果每个人都喝酒是真的，那么随便挑一个人――姑且称他为吉姆。既然每个人都喝酒，而且吉姆也喝酒，那么至少有一个人――也就是吉姆――存在，如果他喝酒，那么每个人都喝酒。

但是，如果假定每个人喝酒是假的，又会如何呢？好办，在这种情况下，至少有一个人――姑且称他为吉姆――不喝酒。既然吉姆喝酒为假，那么“如果吉姆喝酒，每个人都喝酒”就是真的。所以还是有这么个人――也就是吉姆，如果他喝酒，那么每个人都喝酒。

总结一下，如果某人具有他喝酒蕴含每个人都喝酒的古怪特性，我们就叫他“神秘人”。问题的关键在于，如果每个人都喝酒，那么任何人都可以成为神秘人；如果不是每个人都喝酒，那么谁不喝酒，他就是那个神秘人。

至于那个更戏剧化的版本，根据同样的逻辑我们得到至少有一个女性，如果她不能生育，所有女性将都不能生育。如果所有女性都不能生育，那么她就是任意一位女性；如果不是所有女性都不能生育，她就是还能生育的任何一位女性。所以，自然而然的，如果所有女性都不能生育，人类当然就要灭绝了。

至于“对称”版本，也就是有那么一个人，如果有任何人喝酒，那他就喝酒。要么至少有一个人喝酒，要么谁都不喝酒。如果谁都不喝酒，那么任意选一个人――姑且叫他吉姆。既然“有人喝酒”是假的，那么“如果有人喝酒，吉姆就喝酒”就是真的。反之，如果确实有人喝酒，那么选任何一个喝酒的人――姑且叫他吉姆。那么“有人喝酒”为真，而吉姆喝酒也为真，所以“如果有人喝酒，吉姆就喝酒”也为真。

后记

我把喝酒原理讲述给我的学生琳达・韦泽尔和约瑟夫・贝凡多后，他们很是高兴。不久，他们给我寄了一张圣诞卡，上面写着他们发明的一段假想的对话（据说是在一家自助餐厅里吃晚饭时发生的）：

逻辑学家：我认识这么个人，每当他喝酒，所有人都喝酒。

学生：我简直无法理解。你是说地球上每个人都如此？

逻辑学家：是的，自然如此。

学生：听上去那简直就是疯话！你是说只要他一喝酒，在此瞬间，每个人都喝酒？

逻辑学家：可不是吗。

学生：但是那蕴含着在某个时刻，所有人都同时在喝酒。这是不可能发生的啊。

逻辑学家：你没听清我说的话。

学生：我当然听清了，而且，我还驳倒了你的逻辑。

逻辑学家：不可能。逻辑是驳不倒的。

学生：那我刚才怎么就做到了呢？

逻辑学家：你不是对我说你从不喝酒的吗？

学生：呃……好吧，我想我们还是换个话题为好。

251. 这个论证是否有效？

我这辈子见过很多论证，它们都似是而非。就在最近我碰到一个论证，初看是无效的（说实话，它更像是一个笑话），但确实是有效的。

顺便说一句，有效的论证是说根据前提必然可以得到结论的那种论证。前提不一定为真。

论证如下⁷：

(1) 每个人都怕德古拉。

(2) 德古拉只怕我。

因此，我是德古拉。

这个论证听上去像不像一个愚蠢的笑话？不，它是有效的论证。既然所有人都怕德古拉，那么德古拉也怕德古拉。既然德古拉怕德古拉，而除了怕我之外谁都不怕，所以我必然是德古拉。

这个论证看上去像是笑话，但却不是。这才是好玩的地方！