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高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）——生平与成就

1940年，著名英国数学哈代这样写道：

317是个素数，不是因为我们这么认为，也不是因为我们的思想的框架是这样而不是那样来建立，而是因为它就是如此，因为数学实存以此建立。

这是一种数学态度。那么是不是出于这种态度，使得高斯——这位毫无疑问的有史以来最伟大的数学家——推迟发表其关于非欧几何的作品却转而徒劳地去试图寻求一个经验主义上的非欧几何的验证？也许吧，反正我们也不可能去确认这点。我们能确认的是，高斯的数学天才和成就有多么巨大。

在高斯七岁那年步入课堂的时候，就已经展露了他的数学天才。这位数学老师布特纳先生在教室里变得喧哗起来后，给学生们做了一道题，求从1到100的整数之和。同学们还在各自的石板上埋头苦算之时，高斯立马写下了答案：5050。问题才被提出，高斯就意识到1到100的整数集等于50个相加等于101的整数对：({1, 100}, {2, 99}, ..., {50, 51})。

布特纳先生造访了高斯的父母并说服他们让他们的儿子放学后留下来上数学特别指导课。高斯的父母开始的时候不敢相信。他们知道儿子有计算的本领。在高斯三岁的时候，他就纠正了父亲在计算工人应得工资上的一个错误。不过，老高斯能提供的平台有限。高斯的父亲格哈德生于1744年，是位园丁、工人和领班，家族一向贫穷、识字不多，努力摆脱农民身份向着下层中产阶级努力却不成功。他的母亲，生于1743年，闺名多萝茜亚·本泽，在1776年成为格哈德的第二任妻子之前是位女仆。他们唯一的儿子高斯一年后生于布伦瑞克，是同名某公爵封地的首府。

从某个角度看，高斯是幸运的，他的父母能提供的平台有限也就没有滥用他的才华。不然的话，他们很可能带他到处巡游，展示他的计算天才，像莫扎特的父亲将小莫扎特作为音乐天才而到处巡游所做的那样。到高斯十几岁的时候，高斯已经能用两种方法计算平方根到超过50位小数。普遍认为他已经读过了对数表，并且在小数点右边很多位发现了细微的错误。这一计算能力在高斯晚年起了大作用。

幸运的是，与他的才华相匹配的人能得到的教育，他也就可能的得到了。11岁那年，高斯进入当地高中并接受了完整的经典教育。他真正的数学教育来自一对一地课后教学和自学。业余时间，他通读了牛顿的《原理》和伯努利的《猜测术》。高斯的高中成绩记录如此突出，使得他在15岁的时候就获得布伦瑞克公爵费迪南德的固定津贴，让他继续在布伦瑞克学院继续学习。

进入大学之时，高斯所掌握的科学和经典教育知识已经能让他毕业了。三年后，他于1795年离开学院，获得的数学知识已经足够他开创事业。这些年间，高斯给出了π(n)函数（计算比n小的素数的数量的函数）的第一个估计。高斯的第一个估计是这样的：\(\pi(n)\sim\, \frac{n}{ln(n)}\)（\(\ln(n)\)是n的自然对数），然后进一步精细为\(\pi(n)=Li(n)\)，其中：

\(Li(n)=\int_2^n\frac{dx}{ln(x)}\)

在没有计算器之前，高斯计算了素数的数量，并将该公式算到了3百万。

高斯快速学完了学院的课程，并进入距离布伦瑞克60英里的哥廷根大学——而不是公爵领地的钦定大学，位于附近的黑尔姆施泰特，主要可能是因为哥廷根有着一流的数学图书馆。意外的是，哥廷根大学的记录表明，高斯所借的书中，人文类的书籍远远超过数学书籍。高斯的笔记本也告诉我们说，相比其数学教授，他更尊重他的经典教授。但是很快，数学成就胜出了。

古希腊人已经知道，诸如3边、5边、15边的正多边形可以用直线和圆规作出，因此3，5，15的2次幂边正多边形也都可以作出。这个领域的研究也就到此为止了，直到两千年后的1796年，高斯发现，17边正多边形也可以由经典几何工具（直线和圆规）作出。他很快推广了他的结论为：边数为2次幂乘上费马素数的任何正多边形都可以作出。所谓费马素数是指形为\(2^N+1\)（N为2次幂）的素数。费马认为所有形如\(2^N+1\)（其中N是2次幂）的数字都是素数。很容易看出3，5，17和257都具有这个特性。再努一下力，我们可以证明——费马也肯定证明过——65537(\(=2^{16}+1\)) 也是素数。下一个费马素数的候选者是4294967297(\(=2^{32}+1\))。我们不能责备费马没能发现641是这个数最小的素数因子。直到过了一个世纪，伟大的数学家欧拉才找到这个因子。在笔记中，高斯怀疑不会再有别的费马素数了。直到今天，我们还没有发现一个新的费马素数。

对此结果，高斯欣喜若狂，而且确信自己应该追求数学事业。在哥廷根待了两年后，他意识到所有的教师对他已经没有任何帮助了，因此他回到布伦瑞克的老家开始写博士论文。他的选题是代数的基本理论，即每个n次多项式在复数领域恰好有n个复数根。他整个数学生涯的四个证明中，这篇论文中的证明是第一个。

既然不用写一篇事先确定的文章，高斯将注意力转向数论。数论研究可以追溯到古希腊。欧几里德证明素数有无穷个以及偶完全数的表达式是该领域最早的两个成果。随着时间的推移，新的成果出现，新的猜想加入。在17世纪，法国数学家费马——他和笛卡尔同时代，作出了他著名的猜想，即等式\(x^n+y^n=z^n\)，在\(n>2\)时，没有正整数解。阿拉伯人证明了\(n=3\)和\(n=4\)的情况。但是费马大定理的完整证明直到1995年才出现。高斯之前的50年，拉格朗日已经给出了第一个证明，证明每个整数可以表达为不超过4个平方数之和，而哥德巴赫的猜想说每个大于2的偶数可以表达为两个素数之和。1770年，英国数学家华林发表了之前由他学生威尔逊提出的定理的说明：

整数p为素数，当且仅当p能整除(p-1)!+1。

\(n!=1\times 2\times 3\times 4\times...\times (n-1)\times n\)。基于\(n!\)增长的速度，华林绝望了。他觉得无法找到哪怕是一个符号能帮助证明这个其真实性几乎无法用特例来验证的猜想。

高斯开始写作其划时代的作品《算术论辩》（本书有收录）时，数论还只是一些相互独立的结论的汇总。听闻华林的绝望后，高斯据说作出了这样的一个论点：数学是讨论观念而不是符号。在《论辩》中，他引入了同余符号，并籍此统一了数论。两个整数x和y对于整数z同余，当且仅当(x-y)整除了z。追随高斯的用法，我们将这一同余关系表示为：\(x \equiv\,y\,(mod\, z)\)

这一有力的分析方法是《算术论辩》的基础。《论辩》是高斯在数论领域成就的纲要，发表时高斯年仅24岁。它分为七个部分：

• 同余概论
• 第一级同余
• 幂方的余数
• 第二级同余
• 二次式
• 应用
• 圆的分割

利用同余概念以及高斯精简的符号，他可以简单地将威尔逊的定理表述为：

整数\(p\)为素数，当且仅当\((p-1)!\equiv -1 (mod\, p)\)

他也可以表述和证明威尔逊定理的一个引申定理：

如果n是复数且大于4，那么\((n-1)!\equiv 0 (mod\, n)\)

这些结果只是同余这一数学工具的能力的冰山一角。1795年，他还在学院的时候，高斯发现了二次互反律。10年前，33岁的法国数学家勒让德只是阐述了这个定理，但没能完整证明。用同余的概念来说明，二次互反律表明((原文疑有脱漏。))：

设若p和q为素数，且不都与4同余3，那么：
\(x^2 \equiv p (mod\, q)\)以及\(x^2\equiv q (mod\, p)\)同时可解；
或者：
\(x^2 \equiv p (mod\, q)\)以及\(x^2\equiv q (mod\, p)\)都不可解。

设若p和q为素数，且都与4同余3，那么只有一个等式可解：
\(x^2\equiv p (mod\, q)\)或者\(x^2\equiv q (mod\, p)\)

需要注意的是，这个理论本身不能解决p是否事实上为q的二次剩余模的问题！它只是将一个比较困难的数字计算（比如257是否是65537的一个素数模）替换为一个相对简单的数字计算（65537是否是257的素数模）。在第一种算法中，要将65537对257求模，其结果为2，然后判断2是否是257的二次剩余模。

高斯将二次互反律称为“黄金定理”（theorem aureum），也叫它为“算术的宝石”（gemma arithmeticae）。他将算术——他是这么来称呼数论的——成为数学皇后，而数学是科学皇后。

早在1801年，布伦瑞克公爵就增加了高斯的津贴。但是高斯觉得他所做的不够，对不起这一提升。随着《算术论辩》的发表，高斯开始新的挑战，将注意力转向行星理论。1801年1月，原来的天文学家皮亚齐短暂观察到了他认为是一颗新行星的天体，但是很快就跟丢了。1801年的大部分时间，高斯都用来改进行星扰动理论，用的是标准椭圆而不是圆形近似。高斯预测这一神秘天体是颗小行星，而不是一颗新的行星。那年末，在高斯改进后的理论所预测的位置，天文学家发现了小行星“谷神星”。谷神星的发现为高斯带来了真正的国际性名望。1802年1月，位于俄罗斯首都圣彼得堡的科学院将他选为通信会员。高斯终于感到他对得住公爵增加了的津贴了。

公爵在1803年再次提高了高斯的补贴。收入的增加让高斯觉得也许可以考虑个人问题了。1805年，在经过一年的约会后，高斯宣布与约翰娜·奥斯特霍夫订婚，这让周边人吃了一惊。在他给朋友鲍耶的信中，高斯写道：“这位‘佳人只应天上有，人间哪得几回闻’的天使成为我的未婚妻已经三天了……未来的生活在我面前展开，春意盎然，色彩斑斓。”他们于1805年10月9日成婚。就这一段时间来说，真的可以说是高斯生命中的春天。他的恩主在他结婚后大幅提升了他的津贴——也许是受到来自圣彼得堡一个职位的邀请。高斯的第一个孩子约瑟夫生于1806年8月21日，以古神星的发现而命名。他的女儿于一年半后的1808年2月29日诞生，教名为威廉敏娜。

不幸的是，世事多舛，好景不长。1806年秋，费迪南德公爵去世，死因是上月与拿破仑在耶拿会战中失利而受的伤。随着拿破仑在德国的胜利，哥廷根进入了法国藩属国之威斯特伐利亚王国。作为一个教授，高斯要支付2000法郎的税，在当年这可是不小的一笔财富。天文学家奥伯斯为高斯送来了必要的金钱去支付这一税项，但是高斯拒绝了他的好意。然后高斯收到来自法国数学家拉普拉斯的一封信，说“鄙人愿为阁下付清税项，减除负担，且此等行为当视作鄙人之无上荣光。”高斯再次拒绝了好意，不过不是出于对法国人的憎恨。高斯和拉普拉斯都互相非常尊重。有一次，有人问拉普拉斯德国最伟大的数学家是谁，他立即回答说是普法夫——他在名义上指导了高斯的博士论文。此人又追问为什么不说高斯，拉普拉斯立刻回应道：“高斯是全世界最伟大的数学家！”最后，一位匿名捐赠者给高斯寄来了钱付清了款项。由于无法回报这位捐赠者，高斯只好经常为慈善机构捐款，数目等于他借了这笔钱所应付的利息。

高斯和约翰娜的婚姻时光很短暂。1809年生完他们第三个孩子路德维希后的一个月，她去世了，而路德维希也于五个月后去世。约翰娜去世不到一年后，高斯与约翰娜最好的朋友米娜·瓦尔德克成婚。我们只能这么猜想：高斯一定觉得非常有必要为三个孩子找个继母啊。高斯和米娜还育有三个孩子。然后米娜生病了，先是肺结核，然后被诊断为歇斯底里神经官能症。高斯和米娜永远都无法快乐起来，直到她于1831年去世。

在19世纪初，巴黎还是世界数学的中心，哥廷根充其量算是一个地处偏僻的哨所。高斯偶尔会和身处巴黎的数学巨擘们通信，可从来没有劳动自己的大驾到访巴黎。而德国，在高斯的黄金时代，没有一个数学家能与之并肩，也没有几个值得通信交往。鉴于德国数学社区的平庸状态，高斯选择担任哥廷根大学的天文学教授和天文台台长一职也就没有什么奇怪的了。要是他担任了数学教授，他就不得不浪费时间给那些无所谓的本科生讲授数学了。

不用教数学课也许给了高斯一些空闲时间去思考如果否定欧几里德的平行公设会得到怎样的结果。这个研究在他学生时代已经开始而被搁置了。看起来，他似乎是违背这自己的意愿来进行这项工作，几乎不敢想象平行公设有可能是错误的。他从未允许这些工作发表。我们只是通过他的笔记才了解到。

高斯的同时代人认为他是个数学科学家，对应用数学甚至实证数学有浓厚的兴趣。他对测地学——勘探地形并呈现的数学——的兴趣就是他强烈的实证倾向的良好例证。他在20刚出头就开始研究勘探的问题，然后有差不多20年没有光顾这个题目。到1817年，他40岁的时候，他回到了这个主题，负责汉诺威州的地勘工作。接下来的几年中，夏天他勘测土地，而其余时间用来分析数据。他对基于信号灯或者火把的测量技术感到不满，于是发明了一种新的方法，用到了一种叫做向光镜的设备，其中用到镜子来反射光线到小口径的望远镜中。

高斯想通过测绘来找到非欧几何的实证依据。作为其测绘的一部分，他测量了位于德国北部三座山峰（豪亨哈根峰，布洛肯峰和因索斯伯格峰）的顶点形成的三角形的角度。这一三角形——边长在45到70英里之间——的测量得到的结论是非确定性的。高斯计算出三角形的内角和是180° 0′ 15″，非常接近180°，误差不过1比43200，可以归结为测量误差。多亏有爱因斯坦的广义相对论，我们现在知道这样的一个三角形内角和只比180°大\(10^{−17}″\)，1比\(10^{21}\)的差别！

由于缺乏实证依据，高斯决定不发表任何关于非欧几何的文章。但是，当他于1831年得悉，匈牙利数学家亚诺·鲍耶发表了文章证明非欧几何的一致性后，高斯写给老朋友法卡斯——也就是亚诺的父亲，说：

赞美这一著作会变成赞美我自己。这篇文章的整体内容……和我自己过去35年来，所做的占据我脑海的沉思几乎不谋而合。

高斯觉得这不过是阐明了一个事实。但是鲍耶父子认为这是公然的冒犯，也是试图偷取优先权的不耻之举。

1824年，高斯的工资得以大幅提升——这还是1807年后的第一次。一年后，因其测绘工作，他收到了一大笔奖金。这一笔奖金真是“来得早不如来得巧”，因为此时高斯开始患上哮喘和心脏疾病。到1825年，夏日炎炎下进行勘探所带来的身体负担已经过重，高斯已经无法承担，因此他满足于监督测绘并进行所有的计算。据估计，他自己完成了超过100万次的数字信息处理。考虑到他的计算天赋，我们也就不奇怪即使到了晚年，高斯还能为他的才华找到用武之地。19世纪40年代，他接受了一个任务，将大学的养老金建立于坚实的精算基础之上。他肯定特别擅长于投资。他去世的时候，他的资产价值等于他年收入的200倍。

多年以来，高斯开始招收为数不多的学生参加他偶尔为之的数学讲座。任何参加了他1809年的数论演讲，1827年的曲面理论，或者1851年的最小二乘法的人应该感到万分荣幸。黎曼、戴德金（这两位本书稍后会讲到）就是其中的幸运儿。正是在他们那一代，哥廷根奠定了数学世界的中心地位。

高斯一直拒绝医疗，直到他70多岁之后。他死于1855年2月23日，他78岁生日后的两个月。

在他的遗嘱中，高斯要求在他的墓碑上刻上一个正17边形。但是实际不是如此。负责雕刻的石匠认为吊唁者会将一个正17边形看成是一个圆形，于是他刻上了一个17角星。虽说石匠没有遵照高斯的指令，他确实将高斯刻画为一颗星星，数学苍穹中最闪亮的那颗星星。