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黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）——生平与成就

美国大城市之中，波士顿和芝加哥是两座拥有众多伟大数学研究的城市。直到2004年波士顿红袜队赢得了世界杯前，如果你问一个棒球球迷，他在有生之年最想看到的是什么，他们的回答一定是希望红袜队夺冠。芝加哥小兽队还得继续等待。问问这两座城市，或者世界上任何地方的一位数学家，他在有生之年最想看到的是什么，他们大有可能回答：“黎曼猜想的证明！”也许数学家们和红袜队的球迷一样，在有生之年能见证到他们祈祷的结果成真，或者至少是在小兽队赢得世界杯之前吧！

黎曼的生命只有不到四十年。期间产出的成功刚好够一卷全集的出版。某些成果直到1866年黎曼英年早逝之前都没能发表。尽管他的全集会很薄，但也许正因为如此，他所设计的每个方面都为数学带来了革命。

黎曼生于1826年9月17日，出生地是德国北部的赛伦茨。父亲是弗里德里希·伯恩哈德·黎曼，妻子闺名夏洛特·伊柏。黎曼是他们六个孩子中的老二。一年后，全家搬迁到邻近的奎克伯恩镇。他的家族中没有任何黎曼具有数学天才的预兆。他的父亲出身于有着悠久传承的路德教牧师家庭。他的外祖父是汉诺威法庭的一位参事。尽管如此，黎曼的天才很快就广为人知，虽说他一生内向，不易与人交往。黎曼在奎克伯恩的当地学校如此出色，以至于学校的校方为他配备了单独一名教师，传授他高等算术和几何。不久，老师意识到，其实他从黎曼那些复杂的解法中学到的东西要比他教黎曼的东西多。

黎曼的父亲对他儿子的才华十分在意，坚持要让小黎曼在14岁那年报名入学著名的汉诺威学校。第一次远离父母对黎曼来说一定很艰难，很快写信回家倾诉他无比的孤独之情。只有能和他的外祖母一起居住才让这位无比痛苦的羞涩男孩忍受与父母分离之苦。黎曼的外祖母两年后去世，他的父母很不情愿地将他转学到邻近隆伯格的中学以完成他的中学教育。

进入隆伯格中学被证明对黎曼而言是最幸运的选择。学校的校长注意到这位新生的才华，允许他进入他的私人图书馆，馆中收藏了大量高等数学方面的著作。黎曼请校长推荐一本不要太简单的书籍，于是校长推荐了勒让德的巨著《数论》。一周后黎曼归还了书籍。校长问他这本书是不是太有挑战性了，而黎曼回答说他很高兴地能有一本书可以让他用一周的时间来加以精通。这本书可是有整整859页啊！勒让德的《数论》无疑为黎曼提供了第一次接触素数分布研究的入门指南。我们本书包含的他的第三部著作就是关于这个主题。两年后，黎曼要求，作为他毕业考试的一部分，可以考考他对勒让德这本书的理解。不出所料，他对每个问题的回答都是完美的——尽管他有两年没再看过这本书。

黎曼对父母一向尽责，于是报名进入哥廷根大学，计划获得神学和哲学学位，从而追随其父亲成为一名牧师。不论他如何试图满足他家庭的期望，黎曼却无法抗拒哥廷根那位也是唯一一位数学之星——高斯的吸引。黎曼被高斯最小二乘法的演讲所迷醉，并决定数学将是他的职业。此时，高斯已经年过七旬，身体也不好。他建议黎曼转学到柏林大学，以便在新一代德国数学家——斯坦纳，雅各宾，爱因斯坦，特别是狄利克雷——门下学习：。黎曼很担心的是柏林离奎克伯恩很远。不过他父母为他祝福，要他听从高斯的建议。这些许减轻了他的担心。

1849年黎曼获得学士学位后，回到哥廷根继续在高斯门下研读博士学位。1851年11月，黎曼向高斯提交了他的博士论文，标题为《复变函数一般理论的基础》。高斯在哥廷根的学术生涯此时已近尾声，他意识到他终于找到了一个配得上的继承者，并对黎曼的论文不吝溢美之词：

黎曼先生提交的这篇论文提供了具有说服力的证据，表明作者在该论文论及的主题上做了透彻而深入的研究，数学思路有创意并且纯粹，有着辉煌的、富有成果的原创性。该篇论文简洁明了，而且从多处来看，优美之极。大部分读者会偏好有更清晰的编排。整体而论，这是一个重大且有价值的成果，它不仅仅达到了作为博士论文所需要的标准，而且远远超出。

一个月后，黎曼成功通过了博士论文答辩。

由于德国大学教职不多，刚出炉的博士必须先接受无薪教职，然后写一篇所谓的大学授课资格论文，进行授课资格讲座而表明能担任有薪教职。黎曼选择写一篇《用三角级数表示函数》作为他的资格论文，这也是来回到他老师狄利克雷提出的问题：傅立叶公式中的积分倒是是什么含义。黎曼一边无薪作为韦伯物理数学讲座的助手，一边完成论文。本书选录了第一章。

对莱布尼茨而言，定积分\(\int y(x)dx\)是无限多个微小的部分之和：\(\sum y_i(x)\Delta_i (x)\)

但是在实际操作中，数学家们更愿意用积分方式以及微积分基本原理来计算积分，而不是去求和。傅立叶用三角函数级数表达函数的成果，迫使数学家们处理那些没有初等积分的函数的积分，迫使他们去找到一种方法，用在积分函数无法找到的情形中。追随着柯西对积分的研究，狄利克雷在1829年证明分段连续函数可积。狄利克雷将更广泛类型函数积分的任务交给了他的继任者们，而黎曼是找到了方案的那一个。在进行柯西求和的时候，柯西取的是每个间隔两个端点中某一个点的函数值，然后缩小区间而获得定积分。

如下是柯西求和示意图（取左端点的值）。

反之，黎曼要求每个区间内的任意值都可以用来进行黎曼求和，而且当区间范值趋向0的时候，必定收敛到一个极限。

如下是黎曼求和示意图（取任意点的值）。

函数f(x)在区间[a, b]上存在柯西积分，取决于区间[a, b]区间内f(x)的连续性。黎曼积分存在的要求依赖一个与之关联但是差别巨大的概念：变分。和柯西一样，黎曼一开始先将区间[a, b]分成由一系列点\(x_1, x_2, x_3, ..., x_{n-1}, x_n\)构成的区间，且\(a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt x_3\lt ...\lt x_{n-1}\lt x_n=b\)。然后他考虑函数\(f(x)\)在每个小区间\([x_{k-1}, x_k]\)上函数值的变化。也就是在各个子区间\([x_{k-1}, x_k]\)上函数值变化的最大值\(D_k=max(f(s)-f(t))\)。

（s,t为任意值，并满足\(x_{k-1}\leq s,t\leq x_k\)。）

函数f(x)在区间[a, b]上的变分是Dk乘以对应的子区间\([x_{k-1}, x_k]\)然后求和，也就是：\(\sum D_k(x_k-x_{k-1})\)。

黎曼认为，当区间范值趋向于0，即\((x_k-x_{k-1})\)的最大值趋向于0的时候，这个求和也必定趋向于0。我们可以将其非正式地表述为连续的，只是在无限小的区间内。因此，举例来说，狄利克雷函数：

• 如果x是有理数，且表达为最简分式a/b，则函数值为1/b。
• 如果x是无理数，函数值为0。

就是可积的¹。这是因为D(x)的值在所有x为有理数时都小于1，而x的有理值可以枚举，其第n个值落在大小为\(\frac {\epsilon}{2^n}\)的区间，因此它们相加等于\(\epsilon\)——一个任意选定的无限小的值。

黎曼终其一生根本没有想过要发表这篇论文。他的朋友和同事戴德金在黎曼去世后的第二年，即1868年将其发表。在这短短几页中，黎曼为测量和积分理论的大力发展提供了足足有50年的动力。这一领域在1904年由勒贝格的测量和积分理论推向顶点。我们稍后会介绍勒贝格。

完成资格论文后，黎曼只要再克服最后一个障碍就可以担任有薪教职：他要举行一个资格讲座。高斯要黎曼建议三个讲座的主题。黎曼的建议是：

• 函数的三角级数表示问题之历史
• 两个未知数的两个二次方程的解法
• 关于建立几何基础的假设

他希望高斯会选择第一个主题，那样他就可以呈现他资格论文的成果了。结果大出黎曼所料：高斯选择了第三个主题。戴德金认为这一选择可能是因为高斯很好奇，很想知道这么年轻的一个人如何来处理这么困难的主题。最初的惊讶过去后，黎曼意识到他现在有一个机会写一篇文章，可以为大学中更广泛的听众所理解，于是他开始写作。

黎曼的分析从区分离散流形和连续流形开始。他注意到，对于离散流形（比如自然数），其比较是通过计数。相反，对于连续流形（比如平面），比较是通过测量。测量是用一个选定的量度作为标准进行叠加。除非选定一个标准量度，否则我们最多能做到的是，如果一个量是另一个量的一部分，我们对两个量进行相互比较，可以知道哪个大哪个小，但只能定性比较而不能定量比较。

黎曼要求读者考虑一个一维流形，所谓的从某点出发的连续延伸只有两个方向：前和后。黎曼接着说：

我们设想这样的一个流形逐次转为另一个完全不同的流形，映射方法是确定的，也就是说，每个点转到另一个流形上一个确定的点。那么如此得到的所有映射关系构成一个二维扩展流形。用类似的方法，我们想象一个二维扩展流形以确定的方法映射到另外一个完全不同的流形，可以得到一个三维扩展流形。很容易可以看出，这一构造可以持续下去。如果我们考虑这变化的对象而不考虑其可确定的概念，这一构造可以描述为n+1维变异性构造于n维变异性和1维变异性。

黎曼说明，用类似的思路，在一个n维流形中固定一维的值将得到n-1维的流形。然后黎曼迈出了最关键的一步。

既已构造了n维流形的概念，并已找到其真正的特性。这些特性包含在其位置的确定可以简化到n个量度的确定这一属性里。于是我们来到上文提到的第二个问题，也就是，这样的一个流形能进行怎样的与测量相关的研究，以及在怎样的条件下足以确定之。这些测量关系只能通过抽象的数量概念来研究，而它们间的互相依赖关系只能通过公式表达。

当然，黎曼感兴趣的测量是两点之间的距离，也就是（等价的）连接这两点的线的长度。

既已将确定位置简化到确定数量，而n维流形上一个点的位置也因此可以由n个变量\(x_1, x_2, x_3, ... x_n\)来表示，于是确定一条直线就是给出这些数量作为一个变量的函数。问题于是变成建立一个数学表达式来表示线的长度，而在这方面，我们必须考虑将数量x认为是可以用某个单位表示的。

黎曼考虑一类非常常规的度量，即非常靠近的点之间的距离ds，比如\(\lt x_1, x_2, x_3, ..., x_n\gt\)和\(\lt x_1+\Delta x_1, x_2+\Delta x_2, x_3+\Delta x_3, ..., x_n+\Delta x_n\gt\)两点间的距离可以表示为：

\((\sum_{i,j=1}^nG_{ij}\Delta x_i\Delta y_i)^\frac{1}{2}\)

而这个ds的和（也就是积分）给出了任意两点之间的线段的长度。黎曼注意到，欧式几何中从原点到某个点（该点由n个变量\(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\)定义）的距离，也就是这些变量的平方和的平方根：

\((x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2)^\frac{1}{2}\)

只是流形众多特例中的一个（即\(G_{ij}=1\, (i=j), G_{ij}=0\, (i\neq j)\)），也就是平面情形下的特例。

黎曼意识到，如果处于等曲率空间，物体的移动不会有拉伸。他还证明，如果三角形内角之和总是大于两个直角，那么空间一定是正曲率空间；如果其和总是小于两个直角，那么空间一定是负曲率空间；如果其和总是等于两个直角，那么空间一定处处平坦。当然，空间不必一定是平的，甚至不必是等曲率的。

黎曼知道高斯曾经尝试测量内角和不等于两直角的三角形但没有结果，黎曼写道：

我们假定物体的存在与位置无关，曲率处处一致，那么根据极大范围测量的结果表明，这个曲率不可能与0不同；至少来说，它的倒数一定是在某个范围，我们的望远镜与之相比简直可以被忽略。但是如果物体存在与位置的独立性不成立，我们不能从与较大相关的测量得出与无穷小相关的测量的结论。在这种情形下，每个点的曲率在三维空间中可以有任意的取值，只要空间每个可测量部分的曲率之和不显著地与0不同。如果我们不再假定线性元素能用二次微分的平方根表示，更复杂的关系也可能存在。现在看来，空间的测量判定所基于的经验主义的概念，固体、光线的概念对于无穷小来说不再成立。因此，我们有极大的自由来假设，无穷小空间中的量度关系，与几何的假设不一致；而且我们事实上应该如此假定，如果这么一来我们能得到现象的更简明的解释的话。

无穷小情形下几何假设是否正确的问题必定与空间量度相关的基础这个问题绑在一起。

在黎曼演讲的开始，他提到，我们经历的物理空间是三维空间若干形式中的一个。他说，我们这个三维空间的量度特性必定来自经验，它们不能单从几何公理和公设中推导而来。黎曼在演讲结束时，这样说：

因此，要么空间构建的事实必然形成一个离散流形，要么我们必须在其外寻找它量度关系的基础，结合那些作用于其上的所有行为。

要得到这些问题的答案，必须从现象概念——迄今为止由经验证明，而牛顿认为是一个基础——所出发，并在这个概念中做出后续的改变，这些改变是由那些它无法解释的事实所要求的。从类似我们刚做的那些研究的一般概念出发的研究，只在防止这一成果被太狭窄的观点限制方面有用，使对这些事物相互依赖的知识不被传统偏见堵塞而前进。这将引领我们进入另一种科学——物理的领域，在今日，本文的对象还不允许我们触及。

黎曼当然不会知道，他死后50年，他的成果将为爱因斯坦构造他的广义相对论提供数学基础。

黎曼的演讲（本章中第二个附录）肯定是获得了成功，因为高斯和韦伯都对其大加赞赏。黎曼终于越过了最后的障碍，最终于1854年秋天开始了教书生涯，他讲的是偏微分方程系列，总共有八个学生，比他预期的数量多了一倍多。但是，这根本说不上是谋生手段。黎曼的父亲于1855年去世后，他的三个妹妹不得不寻求他们另一个哥哥，一位邮政官员的财政帮助。他哥哥比这位收入窘迫的数学家赚的要多。高斯于同年去世后，黎曼的朋友知道高斯的位置会由黎曼的前柏林大学教授狄利克雷接任。他们试图说服大学任命黎曼为副教授，但这一努力没有成功。

失去父亲以及沉重的财务压力，对黎曼脆弱的心理一定是太过分了，并在1855年末引发了他精神崩溃。为了缓和压力，黎曼退隐山中，通过与同事戴德金一起长途步行来恢复。1857年，黎曼有了好运气，大学任命他为副教授。1858年，意大利数学家贝蒂，卡索拉蒂和布里奥斯奇来到哥廷根拜访黎曼，并和他一起讨论他的数学成果。

黎曼刚刚觉得财务状况稳定，他的哥哥去世了，留下他去照顾三个未婚的妹妹。祸不单行，正是在这段财务状况最糟糕的时候，黎曼第一次开始患上肺痨。不到一年时间，黎曼的负担有了某种程度的减轻，因为他的妹妹玛丽过早去世。一年后的1859年，黎曼最终取得了职业上的成功。因为他以前的老师狄利克雷过早去世，他众望所归地接任哥廷根数学系主任。

黎曼也于1859年入选柏林科学院。为了庆祝他的入选，黎曼写了唯一一篇数论方面的论文，题为《论小于一个给定量的素数数量》。毫无疑问，他对这个话题的兴趣源自15年前他还是隆伯格中学学生时读到的勒让德的《数论》一书。

勒让德和高斯都猜想，\(\pi (x)\)函数——计算所有小于x的素数数量的函数，渐近地逼近\(Li(x)\)（即\(\pi (x)/Li(x)->1\)，当x越来越大的时候），而\(Li(n)=\int_2^n\frac{dx}{ln(x)}\)。

在这篇我认为代表了数学最高级别技巧的里程碑式的论文中，黎曼引进了全新的方法来处理这个问题。他先是引入了s次方倒数的无穷级数：

\(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...+\frac{1}{n^s}+...\)

这个级数当s=2时，已经由欧拉在18世纪中叶证明其极限等于\(\frac{\pi^2}{6}\)。黎曼将之称为Zeta（来自希腊字母z）函数。Zeta函数更正式的表达式为：

\(\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\)

乍一看，似乎牵涉到所有自然数的一个无穷数列和素数的关系很不明朗。但是，欧拉已经提供了关联。他注意到，多亏整数有唯一分解性，那么正整数s次方倒数之和：

\(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...+\frac{1}{n^s}+...\)

可以改写为每个素数的无穷等比数列的无穷积：

\((1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^k}+...)(1+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^k}+...)(1+\frac{1}{5^1}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^k}+...)...\)

再利用无穷等比数列的基本特性，即\(\zeta (s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}\)等于\(\frac{1}{1-p^{-s}}\)，将Zeta函数重新以无穷积来表示：

\(\zeta (s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}\)

这些只是本数学绝招的最初几步。根据这无穷和以及无穷积形式的定义，Zeta函数对于实部大于1复数才收敛。利用他在博士论文中的突破性成果，他只对s=1下，有无穷奇点的复数推广了Zeta函数。

在写作过程中，黎曼随手写下了一个注释：

很可能所有（对应ζ(x)函数）的根都是实数。当然，我们应该有更严格的证明。同时，在经过一些短暂而无果的尝试后，我暂时先将这个问题的研究放一放。

（如果f(x)=0，则x是函数f(x)的根。ζ(x)函数的根是实数，当且仅当Zeta函数的一个根是实部为\(\frac{1}{2}\)的复数。）做出这个关于Zeta函数的根的猜想后，黎曼总结道：

因此我们所熟知的接近公式：F(x)=Li(x)（F(x)也被称为π(x)，是用来计算小于x的素数数量的函数）的正确性只有\(x^{\frac{1}{2}}\)量级。

Zeta函数的根的值决定了π(x)和Li(x)之间差异的量级。“所有Zeta函数的根其实部都等于1/2”这个假设成为了“黎曼猜想”。

又过了几年，黎曼的前程短暂的明亮了起来。1862年6月，他妹妹的一位朋友爱丽丝·科赫结婚。但是结婚不到一个月，黎曼再次病倒，先是胸膜炎，然后是肺痨。他那些有影响力的朋友说服大学校方提供资金给黎曼让他那个冬天去往意大利寻求康复。第二年春天，黎曼觉得自己康复了，于是离开了意大利。但他做了一件蠢事，旅行经过瑞士境内阿尔卑斯山上道路的时候，他行走在厚厚的积雪之中。随着病情复发，他于1863年8月再次回到意大利，不过现在比萨逗留，他妻子为他生下一个女儿伊达，也是他们唯一的子嗣。在比萨的时候，黎曼偶尔参加大学的演讲。很快在大学数学系成员贝蒂和卡索拉蒂以及教育部长布里奥斯奇的敦促下，大学授予他教授职称。虽然他和哥廷根大学的合同阻止了他接受这一任命，德国的大学允许他延长他在比萨的停留，以便恢复健康。不幸的是，结果并非如此。黎曼死于1866年7月20日，离他40岁生日还有两个月。他去世于马焦雷湖畔的塞拉斯克镇。

黎曼发表他素数分布的论文后的几十年间，数学家们一直在奇怪他是怎么得到“Zeta函数的所有零点必定有实部为1/2”这个猜想的。论文既没有给出黎曼如何得到这个猜想的线索，也没有给出任何知道Zeta函数零点必然实部为\(\frac{1}{2}\)的基础。有些数学家只是认为黎曼有了一些美妙的洞见。

事实上，黎曼通过大量计算工作才获得了对Zeta函数表现的知识。他死后，他的妻子从一位过分热心的女仆那里抢救回了他大部分的私人笔记——女仆正开始在壁炉里焚烧这些东西。从被焚毁的厄运中将其抢救回来后，爱丽丝终其一生把它们藏了起来。这些笔记于1920年代公开，而在公开后，它们为其编者西格尔提供了一个宝库。西格尔看到黎曼发明了若干高效的计算技术，而其它数学家在这60年间加以了再发现。作为一贯的完美主义者，黎曼没有发表这些方法，因为他缺乏证明其有效性的证据。我们只能想象，要是黎曼能够幸运地再多活个二十、三十年，他会做出怎样的成果。

黎曼死后的30年，在素数分布问题上几乎没有任何进展。然后在1890年，阿达马，冯·曼戈尔特，德·拉·瓦列-普珊利用黎曼论文中的观点，证明了他π(x)的主要公式以及素数定理，即：

\(\pi (x)\sim Li(x)\)

而：

\(Li(n)=\int_2^n \frac{dx}{ln(x)}\)

这一猜想最早由高斯和勒让德在一个世纪前提出。

1900年，希尔伯特在国际数学家大会上的演讲中，将黎曼猜想作为他23个问题中的第8个。希尔伯特信心十足的认为黎曼猜想可以在10年左右时间内得到证明。黎曼猜想抵挡住了所有破解它的尝试，希尔伯特修正了这个预测。1943年他逝世前不久，有人问希尔伯特，如果他在500年后重生，他想问的第一个问题是什么。这位大数学家立即回答道，我会问：”黎曼猜想有人证明了吗？“

这个猜想在一个世纪后还是没被证明。如今不管是谁证明或者反证了这个猜想，都有1百万美元的奖金。但是没人指望它被反证。数学家们已经证明，至少40%的根必定实部等于1/2。事实上，前15亿个已知解其实部都等于1/2。但这个猜想还是没有被证明。

黎曼实在死得太早。我们只能这样问自己：要是黎曼能活到——按照圣经的说法——三个二十加十年的寿命，他是不是能做出他这一与他齐名的猜想的严格的证明。也许我们能活到见证黎曼猜想的证明。如果我们真的那么幸运，那么我们也不应该奇怪，如果证明的根源来自黎曼划时代的论文本身。