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鲍西娅的首饰盒之谜

A. 第一个传说

67a.

莎士比亚的《威尼斯商人》1中,鲍西娅有三个首饰盒:金的、银的和铅的。其中的一个盒子中放着鲍西娅的肖像。求婚者要在其中选一个盒子,如果他足够幸运(或者足够聪明)选到了有肖像的那个盒子,他就可以娶鲍西娅为妻。每个盒子的盖子上都有一段铭文来帮助求婚者做出聪明的选择。

现在,假定鲍西娅希望选择她的夫君时,不是基于他的品德,而只是基于他的聪颖。她在盒子上刻下了如下的铭文:

肖像在这个盒子里。 肖像不在这个盒子里。 肖像不在金盒子里。

鲍西娅对求婚者说明,这三句话中,最多只有一句是真的。

求婚者该选择哪个盒子?

67b.

鲍西娅的求婚者做出了正确的选择。他们结了婚,并快乐的生活在一起――至少有一段时间是如此。随后,有一天,鲍西娅想到:“尽管我丈夫选对了盒子,看出他有一点聪明,但是问题不是真正那么难。本来我当然可以把问题出的更难一些,找个真正聪明的丈夫的。”于是她和丈夫离了婚,决定找个更聪明的。

这次她在盒子上刻下了这样的铭文:
肖像不在银盒子里。 肖像不在这个盒子里。 肖像在这个盒子里。

鲍西娅对求婚者说明,这三句话中,至少有一句是真的,至少一句是假的。

肖像在那个盒子里?

后记

也许是命运使然,第一位求婚者正是鲍西娅的前夫。他真的非常聪明,同样解决了这个问题。于是他们复婚了。丈夫把鲍西娅带回家,将她脸冲下的搁在他膝盖上,狠狠地给了她一顿胖揍。从此鲍西娅再也没有起过那样愚蠢的念头。

B. 第二个传说

千真万确的是,鲍西娅和她的丈夫自此之后真的过上了幸福的生活,直到永远。他们生了个女儿,叫鲍西娅二世――我们今后还是叫她鲍西娅。小鲍西娅出落成亭亭玉立的少女后,和她母亲一样又聪明又美丽。她也决定用选盒子的方法来挑选她的丈夫。求婚者必须通过两轮测试才可以赢得她的芳心。

68a. 第一轮

这轮的考试中,每个盖子上有两个陈述。鲍西娅解释说,没有哪个盖子上的假话超过一句。

(1) 肖像不在这里。 (1) 肖像不在金盒子里。 (1) 肖像不在这里。
(2) 肖像的作者来自威尼斯。 (2) 肖像的作者其实来自佛罗伦萨。 (2) 肖像其实在银盒子里。

哪个盒子里放着肖像?

68b. 第二轮

如果求婚者通过了第一轮测试,他会被带到另外一间房里,那里还有三个盒子。每个盒子的盖子上也是刻着两句话。鲍西娅说明道,其中的一个盖子上两句话都是真的;一个盖子上的两句话都是假的;而第三个盖子上,一句话为真,一句话为假。

(1) 肖像不在这个盒子里。 (1) 肖像不在金盒子里。 (1) 肖像不在这个盒子里。
(2) 肖像在银盒子里。 (2) 肖像在铅盒子里。 (2) 肖像在金盒子里。

哪个盒子里放着肖像?

C. 引入贝里尼和切里尼

上个传说中的那位求婚者通过了两轮考试,快乐的娶到了鲍西娅二世为妻。他们一直快乐的生活在一起,并生了个可爱的女儿鲍西娅三世――我们今后还是叫她鲍西娅。她长大成人后,她拥有着与生俱来的聪明和美丽――和她的母亲和外祖母一样。她也决定采用挑盒子的方式来选择自己的丈夫。求婚者必须通过三轮测试才能赢得她的芳心!测试设计的非常精巧。她回到她外祖母的方式,只在盖子上刻一句铭文而不是两句。不过,她引入了这么个新变数:她向求婚者说明,每个盒子都是由两位著名的佛罗伦萨艺人贝里尼和切里尼中的一个制作的。切里尼每做一个盒子,他总是在上面刻一句假话,而贝里尼只在他做的盒子上刻一句真话。

69a. 第一轮

这一轮测试不同寻常,如果求婚者胡乱猜的话,那他有2/3的机会而不是1/3的机会猜对。鲍西娅没有放肖像,而是改在三个盒子中的一个里放了一把匕首,而另两个是空的。如果求婚者能够避开那个装了匕首的盒子,他就可以进行下一轮的测试。盒子上的铭文是这样的:

匕首在这个盒子里。 这个盒子是空的。 这三个盒子中最多有一个是贝里尼制造的。

求婚者应该选择哪个盒子?

69b. 第二轮

这一轮测试中,如果求婚者胡乱猜的话,那他有1/2的机会。鲍西娅只用两个盒子,金的和银的,而其中之一放着她的肖像(这个测试里不用匕首)。同样的,每个盒子要么是切里尼要么是贝里尼制作的。盒子上写道:

肖像不在这里。 这两个盒子中恰好有一个是由贝里尼制作的。

求婚者应该选择哪个盒子来找到肖像呢?

69c. 第三轮

如果求婚者通过了前两轮测试,他会被带到另一个房间,里面放置着一个金盒子、一个银盒子还有一个铅盒子。同样,每个盒子不是由切里尼就是由贝里尼制作的。这回,如果求婚者胡乱猜的话,他的机会是1/3。鲍西娅在其中的一个盒子中放入了她自己的照片。要通过这个测试,求婚者必须(1)选中有肖像的盒子;(2)分辨出每个盒子的制作者。

三段铭文是这样的:

肖像在这里。 肖像在这里。 至少有两个盒子是由切里尼制作的。

答案是什么?

D. 神秘事件:哪里出错了?

70.

第四和第五个传说是最让人困惑的,而它们揭示了一个非常重要的逻辑原则。

上个故事里的追求者通过了所有三轮测试,快乐的迎娶了鲍西娅三世。他们生了很多子女,很多孙子女……

几代人之后,他们的一个后代出生在美国,她长的和先祖的肖像是如此的想象,因此起名为鲍西娅N世――我们今后还是叫她鲍西娅。这位鲍西娅长大成人后,她既聪明又漂亮,和其它几位鲍西娅一样。另外她还生性活泼,甚至有点淘气。她也决定用选盒子的方法来挑选她的丈夫。这在现代化的纽约有点那么不一般,不过我们先不管这个。

她采用的测试看上去很简单。她只用两个盒子,金的和银的,其中的一个放着鲍西娅的肖像。盖子上的铭文是这样写的:

肖像不在这里。 这两个陈述中恰好有一个是真的。

你将选择哪个盒子?求婚者是这么推理的。

如果银盒子上的陈述为真,那么事实就是在这两个陈述中恰好有一个是真的。那就意味着金盒子的陈述肯定是假的。反之,如果银盒子上的陈述是假的,那么这两个陈述中恰好有一个为真就不是那么回事儿了。这意味着两个陈述要么都真要么都假。他们不可能都真(因为已经假定第二个为假),所以他们都是假陈述。因此,金盒子上的陈述是假的。所以,不管银盒子上的陈述是真还是假,金盒子上的陈述都是假的。因此肖像必定在金盒子里。

因此求婚者得意地声称:“肖像肯定在金盒子里”并打开了盖子。结果他吓了一大跳,金盒子居然是空的!求婚者被搞晕了,并说鲍西娅欺骗了他。“我才不会屈尊来骗你呢”,鲍西娅笑了,带着一副傲慢、得意、轻蔑的神情打开了银盒子。很显然,肖像在银盒子里。

但是,求婚者的推理到底错在了什么地方?

“好啦,好啦!”鲍西娅说道,显然她很欣赏这样的场面。“你的推理没能给你带来任何好处,对吧?不过,你看上去是个很吸引人的男子,我觉得我要再给你一次机会。我其实不该这么做的,但是我要这么做!事实上,我会不管刚才的测试给你一个更简单的测试。你赢得我的机会将是2/3而不是1/2。这个测试酷似我的先祖鲍西娅三世给出的一个测试。你肯定应该能通过这个的!”

这么说着,她带着求婚者来到另一个房间。那里有三个盒子:金的、银的和铅的。鲍西娅解释说其中一个放着一把匕首而另两个是空的。要赢得她的芳心,求婚者只要选择一个空的盒子。盒子上的铭文是这样写的:

匕首在这个盒子里。 这个盒子是空的。 这三个陈述中最多有一个是真的。

(和鲍西娅三世给出的第一轮测试比较一下!是不是看起来完全是同一个问题?)

这回,求婚者非常仔细的进行了如下的推理。

假定第三个陈述是真的,那么另两个陈述肯定是假的,特别的,第二个陈述是假的,所以匕首在银盒子里。反之,如果第三个陈述是假的,那么至少还有两个真的陈述。而第一个肯定是其一。所以在这个情形下,匕首在金盒子里。不论如何,铅盒子都是空的。

所以求婚者选择了铅盒子,打开了盖子。他又吓了一跳,里面有一把匕首!鲍西娅笑着打开了另两个盒子,他们都是空的!

我想,读者得知鲍西娅最终还是和她的追求者结了婚的话会很高兴的。她早在这些测试之前很久就已经决定要嫁给他了,她只是用这些测试来稍微逗逗他。但是问题还是没有得到解答:求婚者的推理到底错在哪里?

答案

67a.

金盒子和铅盒子上的陈述是互相矛盾的,所以其中之一肯定是真的。既然这三个陈述中最多只有一个为真,那么银盒子上的陈述肯定为假。所以,肖像实际上在银盒子里。

这一问题还可以换一种方式来解决。方法如下:如果肖像在金盒子里,那么我们将有两个真的陈述(即金盒子和银盒子上的陈述),这和给出的条件矛盾。如果肖像在铅盒子里,我们也会有两个真的陈述(这回是银盒子和铅盒子上的陈述)。所以肖像必定在银盒子里。

这两种方法都是正确的。这也显示了这样一个事实,即在很多问题中,可以有几个正确的方法来得到相同的结论。

67b.

如果肖像在铅盒子里,那么这三个陈述都为真,和给出的条件矛盾。如果肖像在银盒子里,那么三个陈述都是假的,也和给出的条件矛盾。因此肖像必定在金盒子里。这时,前两个陈述为真,而第三个为假,符合给出的条件。

68a.

我们可以马上排除铅盒子,因为如果肖像在那里,那么铅盒子上的两个陈述都是假的。所以肖像要么在金盒子里,要么在银盒子里。既然金盒子上的第一句话和银盒子上的第一句话相符,那么他们要么都真,要么都假。如果他们都假,那么它们上刻的第二句话都为真,但它们不可能都真因为它们是互相矛盾的。所以两个第一句话都是真的,所以肖像不会在金盒子里。这就证明肖像在银盒子里。

68b.

如果肖像在金盒子里,那么金盒子和银盒子的盖子上都将有两个假的陈述。如果在银盒子里,那么银盒子和铅盒子都将有一个真的、一个假的的陈述。所以,肖像在铅盒子里。而银盒子上是两个真的陈述,铅的上是两个假的陈述,而金的上,是一个真陈述,一个假陈述。

69a.

假定铅盒子是贝里尼造的,那么上面的陈述为真,因此其它两个盒子必定是切里尼造的。这意味着其它的陈述都是假的,特别是银盒子上的陈述为假,所以匕首在银盒子里。因此,如果铅盒子是贝里尼的作品,银盒子里藏着匕首。

现在假定铅盒子是切里尼打造的,那么上面的陈述为假,所以至少有两个盒子是贝里尼制作的。这意味着金盒子和银盒子都是贝里尼的盒子(因为我们假定铅盒子是切里尼的)。所以金盒子和银盒子上的陈述都为真,特别是金盒子上的陈述为真。所以,在这个情况下,匕首放在金盒子里。

不论哪种情况,匕首都不会在铅盒子里,所以求婚者应该选择铅盒子。

69b.

如果银盒子是贝里尼的,那么它的陈述为真,所以金盒子是切里尼的。假定银盒子是切里尼的,那么两个盒子中恰好有一个是贝里尼的就不是回事儿了。这意味着金盒子是切里尼的(如果它是贝里尼的,那就会出现恰好有一个是贝里尼的情况了!)所以,不论银盒子是贝里尼还是切里尼制作的,金盒子肯定是切里尼的。因此金盒子上面的陈述是假的,所以肖像在金盒子里。

69c.

我们先证明铅盒子一定是贝里尼制作的。如果它是切里尼的作品,那么它的陈述为假,意味着至少有两个贝里尼的作品,那就是金盒子和银盒子。这是不可能的,因为肖像不可能又在金盒子里,又在银盒子里。所以铅盒子实际上是贝里尼的。这意味着金盒子和银盒子都是切里尼的。所以两个盒子上的陈述都是假的,所以肖像既不在金盒子里,也不再银盒子里。因此肖像在铅盒子里。

同时,我们已经证明铅盒子是贝里尼制作的,而另两个是切里尼制作的。这也解答了第二个问题。

70.

求婚者应该意识到,如果对任意陈述的真假不给出任何信息,也不给出它们之间真值关系的信息,陈述可以说任何东西,而东西(看情况而定,可能是肖像或者是匕首)也可以在随意什么地方。老天在上,我可以随兴所至的拿出任意数量的盒子,然后把东西放在其中之一,在盒子上刻上随便什么铭文。这么一来,这些句子根本就不传达任何信息。所以,鲍西娅事实上并不是在撒谎,她只是说问题中提及的东西在某个盒子里,而在每种情况下也确实如此。

此时的情况和之前所有鲍西娅故事中所讲的大不一样。如果东西不在求婚者指出的地方,那么老鲍西娅们一定在整个叙述过程中的某一处说了谎话。我们马上就会分析到了。

换个角度来看这个问题的话,求婚者的错误在于假定每个陈述要么是真,要么是假。让我们回头更仔细的看看鲍西娅N世第一轮的测试题。她用了两个盒子。金盒子上的陈述“肖像不在这里”肯定要么是真的、要么是假的,因为肖像要么在要么不在金盒子里。事实上,它恰好为真,因为鲍西娅确实将肖像放在了银盒子里。现在,既然鲍西娅确实将消息那个放在银盒子里,银盒子上的陈述是真还是假呢?它既不真也不假,否则必定陷入悖论!假定它是真的,那么恰好有一个陈述是真的。但是既然(在金盒子上的)第一个陈述为真,第二个陈述肯定得假。所以,如果它是真的,它就必定是假的。反之,如果银盒子上的这个陈述为假,那么第一个陈述真,第二个陈述假。这意味着恰好有一个陈述是真的,也就是该陈述所断言的,所以它不得不是真的!因此,无论假定第二个陈述是真还是假,都会导致矛盾的结果。

将这个测试和鲍西娅三世的第二轮测试进行比较,会很有启发。那个测试里也用了两个盒子。那个金盒子上说的话和这题金盒子上的话一样,都是“肖像不在这里”,但是银盒子不是说“这两个陈述中恰好有一个是真的”,而是说“这两个盒子中恰好有一个是由贝里尼制作的”。读者现在可能觉得奇怪,既然贝里尼只刻上真话,而切里尼只刻上假话,这两个陈述有什么显著的不同吗?差别尽管很细微,但却是本质性的。陈述“这两个盒子中恰好有一个是由贝里尼制作的”必定是一个要么为真、要么为假的陈述。它是一个关于物理世界的历史性陈述。贝里尼恰好制作了两个盒子中的一个要么确有其事,要么不符合事实。在鲍西娅三世的问题中,假定肖像是在银盒子里而不是在金盒子里发现的,你会得到什么结论呢?银盒子上的陈述既不真也不假?这是个错误的结论!我已经指出,这个陈述确实要么真要么假。所以正确的结论是,如果肖像在银盒子里,那么鲍西娅三世在讲述关于贝里尼和切里尼的习惯的时候撒了谎。与之相反,当代鲍西娅可以将肖像放入银盒子而不至于撒谎,因为她没有就这些陈述的真值做出任何表述。

整个关于涉及自身真值的陈述的真值问题的问题,是当代逻辑学中精妙而又本质的一面。我们在后面各章节还要讲述。


  1. 鲍西娅和她用三个首饰盒对付求婚者的情节,见《莎士比亚全集(二)》之《威尼斯商人》,朱生豪译,人民文学出版社,1994年版,ISBN 7-02-002013-5,第一幕第二场,第二幕第一场,第二幕第七场,第二幕第九场,第三幕第二场等处。这里的大部分故事情节当然是作者杜撰的。译者注。 

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