题目
分析
如果我们一个一个的去遍历，一定会超时的，因为复杂度是\(O(n^2\cdot m^2\))。
正方形
正方形比较特别，但它也是一个“矩形”。我们先统计正方形的数量。
对于一个\(n\cdot m\)的矩形来说，它的边长可以是1到min(n, m)。而对于每个边长为i的正方形，横向可以选择的点有\(m-i-1\)个，纵向可以选择的点有\(n-i-1\)个。所以对于边长为i的正方形，它的总数很快可以得到：\((m-i-1)\times (n-i-1)\)。当然，总的正方形数量是各个边长的数量的累加：\(\sum_{i=1}^{min(n, m)} (m-i-1)\times (n-i-1)\)。
矩形
矩形的高度是[1, n]，同样，对于某个特定高度h的矩形，纵向可以选择的起点数为\(n-h+1\)。所以，所有高度的纵向起点数总和为：\(\sum_{h=1}^n (n - h + 1) = \sum_{h=1}^n h = \frac{n \times (n + 1)}{2}\)。同理可得，所有宽度（w）的横向起点总和为：\(\sum_{w=1}^m (m - w + 1) = \sum_{w=1}^m w = \frac{m \times (m + 1)}{2}\)。
按照乘法原理，得到不同长宽的矩形总数有\(\left( \frac{n \times (n + 1)}{2} \right) \times \left( \frac{m \times (m + 1)}{2} \right)\)个。
但是，这个公式中，每个点都被用到了四次：作为左上、右上、左下、右下角都用了一次。所以，这个结果要除以4。而且，这个总和包括正方形的数量，所以要去掉正方形才是狭义上的矩形数量。
答案
思考
就算是暴力算法，也是有方法的，可谓“暴力美学”！