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题目
有些网球迷很期待大威和小威在比赛中相遇。现实里这取决于种子排位和实力差异，我们改看一个理想化模型：
- 有\(64\)名选手参加单淘汰赛；
- 对任意一场比赛，双方胜率都为\(\frac{1}{2}\)；
- 对阵签表在所有可能中等概率随机生成。
问：威廉姆斯姐妹在这次比赛中彼此交手的概率是多少？
分析
设两姐妹为\(A,B\)。固定\(A\)在签表中的位置，\(B\)在剩余\(63\)个位置中等概率落位。
若两人在第\(r\)轮相遇（\(r=1,2,\dots,6\)），需要两件事同时发生：
- 签表位置条件：\(B\)必须落在“与\(A\)同一个\(2^r\)人小区、但不在同一个\(2^{r-1}\)人半区”的位置里。这样的位子有\(2^{r-1}\)个，所以概率是\(\frac{2^{r-1}}{63}\)。
- 前\(r-1\)轮都不被淘汰：\(A,B\)各自要连赢\(r-1\)场，概率为\(\left(\frac{1}{2}\right)^{r-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{r-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2r-2}\)。
因此
\[ P(\text{第}r\text{轮相遇})=\frac{2^{r-1}}{63}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2r-2}=\frac{1}{63\cdot2^{r-1}}。\]
总概率为
\[ \sum_{r=1}^{6}\frac{1}{63\cdot2^{r-1}} =\frac{1}{63}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\right) =\frac{1}{63}\cdot\frac{63}{32} =\frac{1}{32}。\]
所以威廉姆斯姐妹交手的概率是\(\frac{1}{32}\)。
补充：速解（配对计数）
这个题还有一个更快的想法。
把“某两位选手在本届比赛中交手过”看成一对选手被“命中”。
- \(64\)名选手一共能组成\(\binom{64}{2}\)对。
- 单淘汰赛总共进行\(63\)场比赛（因为要淘汰\(63\)人才能产生冠军）。
- 每一场比赛恰好对应一对“实际交手”的选手，所以整届比赛恰好命中\(63\)对选手。
关键是对称性：签表随机、每场胜负也完全对称，任意一对选手在赛前地位相同，因此被命中的概率都一样。
设这个共同概率为\(p\)。用期望计数：
\[ \binom{64}{2}p=63。\]
于是
\[ p=\frac{63}{\binom{64}{2}}=\frac{63}{\frac{64\cdot63}{2}}=\frac{1}{32}。\]
所以威廉姆斯姐妹这“一对特定选手”交手的概率就是\(\frac{1}{32}\)。