题目
字典里出现的第一个奇数是哪个？更具体地说，把从\(1\)到\(10^{10}\)的每个整数都用规范英文写出来（例如“two hundred eleven”“one thousand forty-two”），然后忽略空格和连字符，按字典序排列。问：排在最前面的奇数是哪一个？
分析
答案是\(8018018885\)，即\(\text{eight billion eighteen million eighteen thousand eight hundred eighty-five}\)。
解题的关键不是穷举，而是按字典序一步一步找“最早可能出现的前缀”。
先看所有英文数词的开头。以字母顺序来说，最靠前的是以eig...开头的一类，也就是eight...、eighteen...、eighty...这些。显然，任何以f、n、o、s、t开头的数都不可能更早。
而在eight...这一支里，各种可能前缀分别是：
eight billion...eighteen...eight hundred...eight million...eight thousand...eighty...
比较eight后面的下一个字母即可：
eight billion...在eight后面接的是beighteen...接的是eeight hundred...接的是height million...接的是meight thousand...接的是teighty...接的是y
所以只要存在一个奇数以eight billion...开头，它就一定排在所有别的奇数前面。
这说明目标数一定形如\(8\text{ billion }+r\)，其中\(r\)是一个正奇数，并且\(r<10^9\)。于是问题递归地变成：在\(1\)到\(10^9-1\)之间，哪个奇数的英文写法字典序最小？
现在上界变成了不到\(10^9\)，已经不能再用billion。于是最靠前的候选前缀变成：
eighteen...eight hundred...eight million...eight thousand...eighty...
这里eighteen...最小，因为在共同前缀eight之后，它接的是e，比h,m,t,y都小。
但单独的\(18\)是偶数，所以最早的奇数必须从eighteen million...开始，而不能在eighteen处结束。于是\(r=18\text{ million }+s\)，其中\(s\)是一个正奇数，且\(s<10^6\)。
同理，在\(1\)到\(10^6-1\)之间，最早的奇数前缀只能是eighteen thousand...，所以\(s=18\text{ thousand }+t\)，其中\(t\)是一个正奇数，且\(t<1000\)。
最后只剩下\(1\)到\(999\)中的奇数。此时不再有thousand、million之类可用。我们只需比较这几个最早的候选：
eighteen，但\(18\)是偶数，不能取；eight hundred...；eighty...；- 以及
eleven...之类更晚的前缀。
因此\(t\)一定从eight hundred...开始。
接下来只需在\(1\)到\(99\)的奇数中，找英文写法最早的一个，放在eight hundred后面。这里最早的是\(85\)，因为：
- 以
e开头的奇数里，eighty-...比eleven更早； - 在
eighty-one、eighty-three、eighty-five、eighty-seven、eighty-nine中，比较eighty-之后的首字母，依次是o,t,f,s,n，其中f最小，所以最早的是eighty-five。
故
\[ t=885。\]
于是
\[ s=18000+885=18885,\]
\[ r=18000000+18885=18018885,\]
最终得到
\[ 8\,000\,000\,000+18\,018\,885=8\,018\,018\,885。\]
所以字典序排在最前面的奇数是\(8018018885\)。
注记
如果把问题改成“字典序排在最前面的素数是哪一个”，答案则是\(8018018851\)，即
\[ \text{eight billion eighteen million eighteen thousand eight hundred fifty-one}。\]
它和上面的最早奇数有着完全相同的长前缀eight billion eighteen million eighteen thousand eight hundred ...，只是最后为了满足素性，不能停在最早出现的eighty-five上，而要继续往后找，直到遇到第一个同时是素数的候选。