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title: Candles on a Cake
tag:
- middle
- combinatorics
- discrete
- inequalities
- pigeonhole-principle
- geometry
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Table of Contents
## 题目
乔安娜18岁生日，她的蛋糕是一个圆柱形，周长为18英寸，上面插着18根蜡烛。任意两根蜡烛之间的弧长（以英寸计）都大于这两根蜡烛之间（不含端点）的蜡烛数。证明：可以把蛋糕切成18等份，每份正好有一根蜡烛。
### 分析
题目条件实际上保证了蜡烛分布不会太不均匀。我们可以用“离散误差”来刻画：
设从某个固定起点0出发，依次编号蜡烛为第1,2,...,18根，记$a_i$为从0到第$i$根蜡烛的弧长（按逆时针），定义$d_i = a_i - i$，即$d_i$表示实际弧长与理想均匀分布（每根蜡烛间隔1英寸）下的“误差”。
我们断言：对任意$i,j$，$|d_i-d_j|<1$。
证明：不妨设$i<j$。若$d_j-d_i\leq -1$，则
$$
j-i-1 \geq a_j-a_i
$$
但$j-i-1$正好是$i$和$j$之间（不含端点）的蜡烛数，$a_j-a_i$是这段弧长。题设要求弧长严格大于蜡烛数，矛盾。
同理，若$d_j-d_i\geq 1$，则$d_i-d_j\leq -1$，对另一段弧也矛盾。
所以所有$d_i$都落在长度小于1的某个区间内。
取$\varepsilon$为严格小于所有$d_i$的数（比如$\varepsilon$在最小的$d_k$和$d_k+1$之间），则所有$d_i$都严格在$\varepsilon$和$1+\varepsilon$之间。
现在，从$\varepsilon$出发，每隔1英寸切一刀（即$\varepsilon,\varepsilon+1,...,\varepsilon+17$），每刀必落在某两根蜡烛之间，且每份必有一根蜡烛。
因此可以把蛋糕切成18等份，每份正好有一根蜡烛。