题目
乔安娜18岁生日，她的蛋糕是一个圆柱形，周长为18英寸，上面插着18根蜡烛。任意两根蜡烛之间的弧长（以英寸计）都大于这两根蜡烛之间（不含端点）的蜡烛数。证明：可以把蛋糕切成18等份，每份正好有一根蜡烛。
分析
题目条件实际上保证了蜡烛分布不会太不均匀。我们可以用“离散误差”来刻画：
设从某个固定起点0出发，依次编号蜡烛为第1,2,...,18根，记\(a_i\)为从0到第\(i\)根蜡烛的弧长（按逆时针），定义\(d_i = a_i - i\)，即\(d_i\)表示实际弧长与理想均匀分布（每根蜡烛间隔1英寸）下的“误差”。
我们断言：对任意\(i,j\)，\(|d_i-d_j|<1\)。
证明：不妨设\(i<j\)。若\(d_j-d_i\leq -1\)，则
\[ j-i-1 \geq a_j-a_i\]
但\(j-i-1\)正好是\(i\)和\(j\)之间（不含端点）的蜡烛数，\(a_j-a_i\)是这段弧长。题设要求弧长严格大于蜡烛数，矛盾。
同理，若\(d_j-d_i\geq 1\)，则\(d_i-d_j\leq -1\)，对另一段弧也矛盾。
所以所有\(d_i\)都落在长度小于1的某个区间内。
取\(\varepsilon\)为严格小于所有\(d_i\)的数（比如\(\varepsilon\)在最小的\(d_k\)和\(d_k+1\)之间），则所有\(d_i\)都严格在\(\varepsilon\)和\(1+\varepsilon\)之间。
现在，从\(\varepsilon\)出发，每隔1英寸切一刀（即\(\varepsilon,\varepsilon+1,...,\varepsilon+17\)），每刀必落在某两根蜡烛之间，且每份必有一根蜡烛。
因此可以把蛋糕切成18等份，每份正好有一根蜡烛。