题目
Alice、Bob和Carol约定进行一场三人决斗。Alice枪法很差，平均只有\(1/3\)的概率击中目标；Bob较强，命中率为\(2/3\)；Carol则弹无虚发。
三人轮流开枪，顺序是Alice先，接着是Bob，再接着是Carol，然后再轮回到Alice，如此继续，直到只剩下一人为止。问：Alice的最佳策略是什么？
分析
答案是：Alice第一枪最好故意打空。
先看当三人都还活着时，Bob和Carol各自的最优选择。
| 开枪者 | 最优瞄准对象 | 原因 |
|---|---|---|
| Bob | Carol | 如果Bob打死Alice，下一枪就轮到Carol，而Carol必定会立刻打死Bob；但如果Bob打死Carol，那么接下来就只剩Alice和Bob单挑，Bob还有获胜机会。 |
| Carol | Bob | 如果Carol打死Alice，接下来要面对的是命中率为\(2/3\)的Bob；而如果Carol打死Bob，接下来只需面对命中率仅为\(1/3\)的Alice，显然更有利。 |
所以关键只在于：Alice第一枪该怎么办。
先计算两个单挑战形。
设\(P_{AB}\)表示只剩Alice和Bob、并且轮到Alice先开枪时，Alice最终生还的概率。则
\[ P_{AB}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}P_{AB} \Rightarrow P_{AB}=\frac{3}{7}\]
解释如下：Alice若这一枪打中，就立刻获胜；若打不中，那么Bob有\(\frac{2}{3}\)的概率打死Alice，只有在Bob也失手的概率\(\frac{1}{3}\)下，局面才会回到原来的状态。
再设\(P_{AC}\)表示只剩Alice和Carol、并且轮到Alice先开枪时，Alice最终生还的概率。由于Carol百发百中，Alice必须在自己第一次开枪时就命中，所以
\[ P_{AC}=\frac{1}{3}.\]
现在把Alice第一枪的三种选择整理成表。
| Alice第一枪 | 后续局面 | Alice最终生还概率 |
|---|---|---|
| 故意打空 | 轮到Bob开枪，而Bob会瞄准Carol。Bob以\(\frac{2}{3}\)的概率打死Carol，于是进入\(P_{AB}\)；Bob以\(\frac{1}{3}\)的概率失手，于是Carol打死Bob，进入\(P_{AC}\)。 | \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{7}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{7}+\frac{1}{9}=\frac{25}{63}\) |
| 瞄准Carol | 如果Alice以\(\frac{1}{3}\)的概率打中了Carol，那么就变成Alice与Bob单挑，但下一枪轮到Bob。Alice要想活下来，必须先等Bob失手，概率是\(\frac{1}{3}\)，然后再从“自己先手对Bob”的局面中取胜，概率是\(\frac{3}{7}\)，所以这一分支的生还概率是\(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{7}\)。如果Alice第一枪没打中Carol，概率为\(\frac{2}{3}\)，那么局面就和“故意打空”完全一样。 | \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}+\frac{2}{3}\cdot\frac{25}{63}=\frac{59}{189}\) |
| 瞄准Bob | 如果Alice第一枪打死Bob，那么下一枪就轮到Carol，而Carol会立刻打死Alice，所以这一分支的生还概率是\(0\)。如果Alice没打中Bob，概率为\(\frac{2}{3}\)，局面同样回到“三人都活着且轮到Bob”的状态。 | \(\frac{1}{3}\cdot0+\frac{2}{3}\cdot\frac{25}{63}=\frac{50}{189}\) |
最后比较三种结果：
\[ \frac{25}{63}=\frac{75}{189}, \qquad \frac{59}{189}, \qquad \frac{50}{189}.\]
其中最大的显然是
\[ \frac{25}{63}.\]
因此，Alice的最佳第一步是故意射空，让Bob和Carol先互相消耗；等局面变成两人单挑后，再朝剩下的那个人开枪。
注意：神转折出现！
既然我们允许Alice这么做，就不能禁止其他两个人也这么做！如果一个合理的假定是：每个人都想活下去，而不是杀死对方，那么很容易推导出：Bob和Carol也会这么做（放空枪）！所以，这场三人决斗不会有结果，大家耗光子弹后就只能各自回家了！