题目
在一些扑克牌玩法里，谁先做庄是这样决定的：从一副充分洗匀的牌中一张张明牌发出，直到第一次出现\(J\)（Jack）为止。问：平均需要发多少张牌？
分析
把整副牌看成\(52\)个位置，其中有\(4\)张\(J\)随机落在这\(52\)个位置上。
设\(X\)为“第一张\(J\)出现的位置”，也就是题目要的发牌张数。
下面把常用结论推导一下：当\(K\)个“特殊牌”均匀随机放入\(N\)个位置时，最靠前那个特殊牌的位置期望为
\[ E[X]=\frac{N+1}{K+1}.\]
先看尾概率。对\(m=0,1,\dots,N-1\)，事件\(X>m\)表示“前\(m\)个位置都没有特殊牌”，所以
\[ P(X>m)=\frac{\binom{N-m}{K}}{\binom{N}{K}}.\]
这里分子表示\(K\)个特殊牌都落在后\(N-m\)个位置。
再用尾和公式
\[ E[X]=\sum_{m=0}^{N-1}P(X>m)=\frac{1}{\binom{N}{K}}\sum_{m=0}^{N-1}\binom{N-m}{K}.\]
令\(t=N-m\)，则\(t\)从\(N\)降到\(1\)，于是
\[ E[X]=\frac{1}{\binom{N}{K}}\sum_{t=1}^{N}\binom{t}{K} =\frac{1}{\binom{N}{K}}\binom{N+1}{K+1} =\frac{N+1}{K+1}.\]
上面用到了组合恒等式\(\sum_{t=1}^{N}\binom{t}{K}=\binom{N+1}{K+1}\)。
这里\(N=52,K=4\)，所以
\[ E[X]=\frac{52+1}{4+1}=\frac{53}{5}=10.6.\]
因此平均要发\(10.6\)张牌。
也就是说，长期来看大约发到第\(11\)张附近才会第一次见到\(J\)。
另外一种解法是，4张J将另外48张牌分成5组。而这5组的期望长度是一样的：\(\frac{48}{5}=9.6\)，也就是在发出J之前平均要发9.6张牌，加上J本身，就是10.6张。