题目
你有一个天平和12枚硬币，其中11枚是真币，重量相同；但有一枚是假币，且它比其他硬币要么更轻，要么更重。你能否在三次称重内确定哪一枚是假币，并判断它是较轻还是较重？
分析
下面给出一个常见且可行的三次称重策略（按编号 1–12 标记硬币）。第一步将问题规模缩小至 4 枚，剩下两步用于判别哪一枚以及轻重。
记硬币为 1,2,\dots,12。第一次称重：称 1,2,3,4 与 5,6,7,8。
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若天平平衡，则 1–8 均为真币，假币在集合 {9,10,11,12} 中。此时第二次称重：称 9,10 与 11,1（其中 1 为已知真币）。
- 若第二次称重也平衡，则假币为 12；第三次称重称 12 与 1 可判断 12 为轻还是重。
- 若第二次称重左边偏重（9+10 > 11+1），则三种可能：9 为重、10 为重、或 11 为轻。第三次称重令 9 与 10 相互称：若 9=10 则 11 为轻；若 9>10 则 9 为重；若 9<10 则 10 为重。
- 若第二次称重左边偏轻（9+10 < 11+1），则三种可能对称：9 为轻、10 为轻、或 11 为重。第三次称重同上（9 vs 10）即可区分。
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若第一次称重不平衡，假设 1,2,3,4 这一边下沉（重）；则假币要么在 {1,2,3,4} 中且为重，要么在 {5,6,7,8} 中且为轻。此时第二次称重采取如下混合置换：称 1,2,5 与 3,6,9（把第 9 枚作为占位，若第一次平衡则它是未知，但在本分支中其具体真假不影响判别）。
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若第一次称重不平衡，下面给出完整的判别表（先给左重的情况；若第一次右重，则按对称规则把“重/轻”和左右交换即可）。假设第一次为左重（即 1,2,3,4 较重），则候选为：1–4 中某枚为重，或 5–8 中某枚为轻。第二次称重：称 1,2,5 对 3,6,9。
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若第二次平衡：则参与称量的硬币均为真币，结合第一次可知假币在 {4,7,8}，且为 4 重或 7/8 轻。第三次称重：称 4 与 1（已知真币）。若 4>1 则 4 为重；若 4=1 则再称 7 与 1：若 7<1 则 7 为轻，否则 8 为轻。
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若第二次左重（1,2,5 较重）：结合第一次信息，可推出可能为 1 重、2 重或 6 轻。第三次称重：称 1 与 2。若 1=2 则 6 为轻；若 1>2 则 1 为重；若 1<2 则 2 为重。
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若第二次右重（1,2,5 较轻）：结合第一次信息，可推出可能为 3 重或 5 轻。第三次称重：称 5 与 6。若 5=6 则 3 为重；若 5<6 则 5 为轻。
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若第一次称重为右重（即 5,6,7,8 较重），对称地使用相同的第二次称重（1,2,5 对 3,6,9）并对结果作对称解释：候选为 1–4 中某枚为轻，或 5–8 中某枚为重。
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若第二次平衡：假币在 {4,7,8}，且为 4 轻或 7/8 重。第三次称重：称 4 与 1；若 4<1 则 4 为轻；若 4=1 则称 7 与 1，若 7>1 则 7 为重，否则 8 为重。
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若第二次左重（1,2,5 较重）：结合第一次信息，可推出可能为 5 重或 3 轻。第三次称重：称 5 与 6。若 5=6 则 3 为轻；若 5>6 则 5 为重。
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若第二次右重（1,2,5 较轻）：结合第一次信息，可推出可能为 1 轻、2 轻或 6 重。第三次称重：称 1 与 2。若 1=2 则 6 为重；若 1<2 则 1 为轻；若 1>2 则 2 为轻。
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说明与思路：上面对第一次称重平衡的分支给出了完整的三步判别流程；对第一次不平衡的分支给出了解题思路与可行的第二次称重方案，并说明如何通过第三次称重完成唯一判断。该方法基于三个称重每次有三种结果（左重、平衡、右重），共 3^3=27 种结果足以区分 12×2=24 种情况（12 枚硬币×轻/重），通过合理设计三次称重的置换（即每枚硬币在三次称重中的“出现/位置/方向”编码唯一化）即可确保成功。
如需，我可以把“不平衡时的完整判别表”展开为详细的三次称重决策树（含每个分支的具体第三次称量与判读），并把完整文本写入题目文件中。