Hopping and Skipping

题目

一只青蛙沿着一长排荷叶往前跳。每到一片荷叶，它就抛一次公平硬币：

• 正面：向前跳\(2\)片；
• 反面：向后跳\(1\)片。

问：长期看，这排荷叶里有多少比例会被它踩到？

分析

转换一下思路：如果能求出“某一片荷叶最终被踩到”的概率，那么对很长的一段荷叶取平均，这个单点概率就对应整体覆盖率（由平移不变性与大数平均可知，局部概率会转化为全局比例）。

把荷叶按顺序标成整数。先计算一个基础概率：

\[ p=\text{青蛙从}1\text{出发，未来某时刻回到}0\text{的概率}.\]

于是\(1-p\)就是“从1出发，永不回到0”的概率。

若青蛙想“永不回到0”，第一步必须先向前跳到3（概率\(\frac{1}{2}\)）；到3后还要一直不回到0。由平移不变性和强马尔可夫性¹，从3回到0可看成连续跨过三个“回退一级”的门槛，每级回退成功概率都是\(p\)，所以从3回到0的概率是\(p^3\)，不回到0的概率是\(1-p^3\)。

因此\(1-p=\frac{1}{2}(1-p^3)\)，求解并取\(0\)到\(1\)之间的根：

\[ p=\frac{\sqrt5-1}{2}\]

接着算“漏掉某片荷叶”的概率。考虑某一次向前跳，它跨过中间一片荷叶（设为0）。这片荷叶最终被永久漏掉，需要三件事同时成立：

• \(A\)：这一步确实是向前跳（概率\(\frac{1}{2}\)）；
• \(B\)：跳到前方后，未来不再回落到0（概率\(1-p\)）；
• \(C\)：在这一步之前，过去也从未到过0。

关键是求\(C\)的概率。这个事件看起来是“过去信息”，不太直观。处理方法是时间反演：

• 正向看，青蛙每一步是“\(+2\)或\(-1\)”，各概率\(\frac{1}{2}\)；
• 反向看（把时间倒放，并把空间方向同时反过来），过程分布不变，仍是“\(+2\)或\(-1\)”，各概率\(\frac{1}{2}\)。

因此，“过去从未到过0”与“未来不再回落到0”是同分布事件，所以\(P(C)=1-p\)。

另外，\(A,B,C\)可以视为独立：

• \(A\)只由当前这一次抛硬币决定；
• \(B\)只由未来抛硬币序列决定；
• \(C\)只由过去抛硬币序列决定。

三段抛硬币互不重叠，且抛硬币独立同分布，所以三事件独立。

于是“某次向前跳恰好跨过一片永久漏掉荷叶”的概率是\(\frac{1}{2}(1-p)^2\)。

下面把“按跳数的概率”换成“按空间位置的比例”。

上式是每一步的概率，不是每一片荷叶的比例。要转成比例，需要除以“每一步平均前进多少距离”。青蛙每步平均位移是

\[ \frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2}\cdot(-1)=\frac{1}{2}.\]

可以用\(N\)步来直观理解：

• 大约有\(N\cdot\frac{1}{2}(1-p)^2\)次“跨过永久漏点”的跳跃；
• 总位移大约是\(N\cdot\frac{1}{2}\)。

所以每单位空间长度中的“永久漏掉荷叶”比例（空间密度）约为

\[ \frac{\frac{1}{2}(1-p)^2}{\frac{1}{2}}=(1-p)^2.\]

于是“被漏掉”的比例是\((1-p)^2\)，因此“被踩到”的比例为

\[ 1-(1-p)^2.\]

代入\(p=\frac{\sqrt5-1}{2}\)：

\[ 1-(1-p)^2=\frac{3\sqrt5-5}{2}\approx0.854102.\]

所以青蛙最终会踩到的荷叶比例约为\(85.41\%\)。