题目
从一副52张牌中随机发5张，已知这手牌中至少有一张A，那么其中至少有两张A的概率是多少？已知这手牌中含有黑桃A，那么其中至少有两张A的概率又是多少？如果这两个答案不同，那么黑桃A究竟有什么特别之处？
分析
计算并解释如下：
总的5张牌组合数为\(C(52,5)=2,598,960\)。不含A的组合数（48张不是A的牌中选5张）为\(C(48,5)=1,712,304\)，因此至少有一张A的组合数为\(2,598,960-1,712,304=886,656\)。
至少两张A的组合数为总数减去不含A和恰好一张A的组合数。恰好一张A（48张不是A的牌中选4张，第5张在4张A中任选一张）的组合数为\(4\cdot C(48,4)=4\cdot 194,580=778,320\)，所以至少两张A的组合数为\(2,598,960-1,712,304-778,320=108,336\)。
因此
\[ P(\text{至少2张A}\mid\text{至少1张A})=\frac{108,336}{886,656}=\frac{2257}{18,472}\approx0.12220\;(12.22\%).\]
若已知手中有黑桃A，则剩下4张牌从余下51张中任取。此时其余3张A出现在这4张中的概率为1减去4张都不是A的概率：
\[ P(\text{至少2张A}\mid\text{含黑桃A})=1-\frac{C(48,4)}{C(51,4)}=1-\frac{194,580}{249,900}=\frac{55,320}{249,900}=\frac{922}{4,165}\approx0.22134\;(22.13\%).\]
如果题目第二问指“恰好有两张A（含黑桃A）”，则
\[ P(\text{恰好2张A}\mid\text{含黑桃A})=\frac{\binom{3}{1}\binom{48}{3}}{\binom{51}{4}}=\frac{51,888}{249,900}\approx0.20770\;(20.77\%).\]
两者不同的原因：黑桃A本身并不特殊。区别在于条件事件不同——“至少有一张A”是一个较弱的信息，包含许多恰好一张A的手，从而使“至少两张A”的条件概率较小；而“含黑桃A”给出的是一张确定的A，剩余抽牌从51张中选择，这会提高出现额外A的概率。换言之，给出具体哪一张A比仅说明“至少有一张A”提供了更多信息，因此概率不同。