题目
在一个圆周上均匀随机取3个点。问：这3个点都落在某个半圆内的概率是多少？
分析
答案是\(\frac{3}{4}\)。
直觉上，这个概率显然大于\(\frac{1}{2}\)：先任意放好前两个点，只要它们不重合，那么第三个点落入某个与前两点同属一个半圆的机会，显然比落不进去更大。
但如果直接按“先放前两个点，再看第三个点”的思路去算，就会牵涉到前两点之间的夹角，计算反而麻烦。
更好的办法是：换一种等价的随机取点方式。
先在圆中随机取3条直径。每条直径与圆周交于一对对径点。然后对每条直径各抛一次硬币，决定这一对对径点里到底选哪一个。
这样得到的3个点，仍然是圆周上的3个均匀随机点。
现在固定这3条直径。它们在圆周上给出6个点，并且两两成对对径。
观察这6个点可以发现：
- 如果选出的3个点在圆周上是连续的3个点，那么它们一定落在某个半圆内；
- 如果不是连续的3个点，那么它们就不可能同时落在某个半圆内。
而对3条直径分别做二选一，总共有\(2^3=8\)种可能的选法。
在这8种选法里，恰好有6种会选出圆周上连续的3个点；剩下2种则会选出“隔一个取一个”的交错构型，它们不可能同落在某个半圆里。
所以所求概率为\(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)$。
思考
关键不是直接对点的位置积分，而是先构造一个等价的随机模型：
- 先随机取3条直径；
- 再在每条直径的两个端点里选一个。
这样一来，连续3点对应“能被某个半圆包含”，交错3点对应“不能被任何半圆包含”，整个问题就变成了\(8\)种离散情形中的计数问题。