题目
求平面上4个互不相同的点的所有构型，使得这4个点两两之间一共只出现两种不同的距离。
（注意：这样的构型比你想象的要多。）
分析
下图给出了所有的6种构造：
图中实线、虚线分别表示这两种不同的距离。
最容易想到的当然是正方形：4条边相等，两条对角线也相等，所以正好只有两种距离。这对应图中下排中间。
把正方形稍微“压扁”一下，就会想到另一种很自然的图形：菱形。如果把它压成\(60^\circ\)-\(120^\circ\)的菱形，也就是两块正三角形共用一条边，那么边长是一种距离，长对角线是另一种距离。这对应左上图。
接下来从正三角形出发。
最先想到的是把第四个点放在正三角形的中心。这样中心到三个顶点的距离都相等，而三角形三边本来也都相等，于是又得到两种距离。这对应左下图。
然后再看正三角形的对称轴：从顶点\(A\)向底边作垂直平分线。若从\(A\)出发，在这条直线上截取两个点，使它们到\(A\)的距离都等于三角形边长，就会得到另外两种构型。
- 若取在线段\(A\)的上方，就得到上排中间那个图形。此时\(A\)正好是下面那个\(30^\circ\)-\(75^\circ\)-\(75^\circ\)等腰三角形的外心。
- 若取在底边下方，就得到上排右边那个图形。此时第四点是一个\(15^\circ\)-\(15^\circ\)-\(150^\circ\)等腰三角形的外心。
这样，从“正方形”和“正三角形”两条最自然的思路出发，就已经得到\(5\)种图形。
最后还剩一个最不显眼的：右下图。它看上去不像前面那些对称图形，但其实正是正五边形去掉一个顶点后剩下的4个连续顶点。因为正五边形的边彼此相等、对角线彼此相等，所以这4个点之间也正好只出现两种距离。
综上，所有构型恰好就是图中的\(6\)种。
可以证明只能有这\(6\)种。