题目
例如，在一个圆盘内任取\(n\)个随机点，则这些点两两连线，几乎必然会得到\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)种互不相同的斜率。现在改成你可以刻意选取这\(n\)个点，但要求任意三点都不共线。那么，这些点两两连线所能确定的不同斜率的最小数目是多少？
分析
答案是\(n\)。
考虑一个正多边形，有\(n\)条边。
- 如果\(n\)是奇数
那么这\(n\)条边已经可以有\(n\)个不同的角度。但此时，每条对角线必然和某条边平行。所以答案是\(n\)。
图中同色线段互相平行。例如\(AC\parallel DE,\quad AD\parallel BC,\quad BE\parallel CD,\quad BD\parallel EA,\quad CE\parallel AB\)。所以正五边形的所有连线只会给出\(5\)个方向。
- 如果\(n\)是偶数
此时，这\(n\)条边只能给出\(n/2\)个不同的角度。但此时，从某个点出发、连接隔了一个的顶点的对角线和所有边不平行，所以还能有另外\(n/2\)个角度。答案还是\(n\)。
下图以正六边形为例：边给出\(3=n/2\)个方向，连接“隔一个顶点”的对角线再给出另外\(3=n/2\)个新方向，因此总共有\(6=n\)个方向。
图中三组边给出\(3\)个方向：\(AB\parallel DE,\quad BC\parallel EF,\quad CD\parallel FA\)，三组“隔一个顶点”的对角线再给出\(3\)个新方向：\(AC\parallel DF,\quad BD\parallel EA,\quad CE\parallel FB\)。因此正六边形的所有连线一共给出\(6\)个方向。
我们还能做得更好、使得角度更少么？不能了。
对于正\(n\)边形而言，任何一个点到其他顶点的连线已经给出了\(n-1\)个不同的角度。其中有两个顶点分别给出最大角度和最小角度，这两个点连接起来会给出一个新的角度。所以总数还是\(n\)。
注意：我们没有进行严格的证明，但通过图例已经可以比较清楚地看到最少有\(n\)个角度的情形。