题目
去年，A画廊把一幅《Still Life with Kumquats》卖给了B画廊。A画廊的拥趸声称：这次交易之后，两个画廊各自馆藏画作的平均价值都提高了。
假设这个说法是真的，并且两家画廊合计400幅画的价值都是整数美元。问：在交易发生之前，A画廊与B画廊的画作平均价值之差，最小可能是多少？
分析
设交易前A画廊有\(m\)幅画，B画廊有\(n\)幅画，则\(m+n=400\)。
设交易前两馆总价值分别为\(S_A,S_B\)，平均值分别为 \(a=\frac{S_A}{m},b=\frac{S_B}{n}\)。 被卖出的那幅画价值为整数\(x\)。
由“卖出后A的平均值上升”得：
\[ \frac{S_A-x}{m-1}>\frac{S_A}{m}\]
化简得\(x<a\)。
由“买入后B的平均值上升”得：
\[ \frac{S_B+x}{n+1}>\frac{S_B}{n}\]
化简得\(x>b\)。
所以必须有
\[ b<x<a\]
即交易前两馆均值差满足
\[ a-b=(x-b)+(a-x)\]
并且由\(b<x<a\)可知\(x-b>0,a-x>0\)。
由于\(x\)是整数，且\(b=\frac{S_B}{n}\)：
- 在\(b<x\)条件下，\(b\)能取得的最大值是\(x-\frac{1}{n}\)；
- 在\(a>x\)条件下，\(a\)能取得的最小值是\(x+\frac{1}{m}\)。
因此对给定\(m,n\)，有
\[ a-b\ge\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{400}{mn}\]
要让这个下界尽可能小，就要让\(mn\)尽可能大。在\(m+n=400\)下，\(mn\)最大在\(m=n=200\)时取得，故
\[ a-b\ge\frac{1}{200}+\frac{1}{200}=\frac{1}{100}\]
接下来验证这个值可实现：取\(m=n=200\)，并令
\[ b=x-\frac{1}{200},\quad a=x+\frac{1}{200}\]
则
\[ a-b=\frac{1}{100}\]
构造一组整数价值即可达成：
- A馆200幅：其中199幅总和为\(199x+1\)，再加上将被卖出的那幅\(x\)，总和\(S_A=200x+1\)，平均值\(a=x+\frac{1}{200}\)；
- B馆200幅：总和\(S_B=200x-1\)，平均值\(b=x-\frac{1}{200}\)。
交易后：
- A馆变为199幅，总和\(199x+1\)，平均值\(x+\frac{1}{199}>x+\frac{1}{200}=a\)；
- B馆变为201幅，总和\(201x-1\)，平均值\(x-\frac{1}{201}>x-\frac{1}{200}=b\)。
两馆平均值都上升，条件满足。
所以最小可能差值就是\(\frac{1}{100}\)美元。