题目
一枚双面都是正面的硬币、一枚双面都是反面的硬币，以及一枚普通硬币被放入一个袋子中。从中随机抽取一枚硬币并抛掷，结果是“正面”。问：这枚硬币的另一面也是正面的概率是多少？
分析
把三枚硬币分别记为：
- \(HH\)：双面都是正面。
- \(TT\)：双面都是反面。
- \(HT\)：普通硬币（一正一反）。
先等概率抽一枚硬币，每枚概率都是\(\frac{1}{3}\)。
已知抛掷结果是正面，只可能来自\(HH\)或\(HT\)，不可能来自\(TT\)。
我们要计算：
\[ P(HH\mid\text{看到正面}) =\frac{P(\text{看到正面}\mid HH)P(HH)}{P(\text{看到正面})}.\]
也就是，在看到正面的条件（前提）下，这枚硬币是\(HH\)的概率——这就是Bayes公式。
其中：
\[ P(\text{看到正面}\mid HH)=1,\quad P(HH)=\frac{1}{3},\]
\[ P(\text{看到正面})=1\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.\]
所以：
\[ P(HH\mid\text{看到正面})=\frac{1\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.\]
答案是\(\frac{2}{3}\)。
直观理解：
把所有可能出现的“正面朝上”面列出来，一共有3个等可能的正面面：\(HH\)硬币有2个正面面，\(HT\)硬币有1个正面面。既然你看到了正面，这3种等可能情况里有2种来自\(HH\)，因此概率是\(\frac{2}{3}\)。