题目
有三根木棍，当前不能组成三角形；也就是说，其中最长的一根长度大于另外两根长度之和。
你把这根最长木棍截短，截去的长度恰好等于另外两根长度之和。这样又得到三根木棍。
如果这三根仍然不能组成三角形，就再次对当前最长的一根做同样操作：截去“其余两根长度之和”这么多。
如此反复，直到三根木棍可以组成三角形，或者最长那根被截到完全消失。
问：这个过程有可能永远进行下去吗？
分析
可以，确实有可能无限进行。
构造一个“做完一次操作后，三根木棍的比例关系完全不变”的例子即可。
设初始三边满足\(a\lt b\lt c\)，且\(c\gt a+b\)，所以不能组成三角形。对最长边\(c\)做一次操作后，三边变成\(a,b,c-a-b\)。
如果我们希望新三边与原三边只是按同一比例缩小并重新排序，那么最自然的要求就是\(c-a-b\lt a\lt b\)，并且：
\[ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{a}{c-a-b}.\]
这里隐含了一个额外约束：原来最长的那根被截短后，变成了新的最短边。这不是题目给出的前提，而是我们为了做“自相似构造”主动加上的条件。只要能构造出这样一种特殊情形，就已经足以说明“这个过程可以无限进行”。
设上述公共比值为\(r>1\)，那么三边可写成与\(1,r,r^2\)成比例，而截短后的新边则与\(\frac{1}{r}\)成比例。所以必须有\(\frac{1}{r^2-r-1}=r\)，也就是：
\[ r^3-r^2-r-1=0.\]
这个方程有唯一正根
\[ r\approx1.839286.\]
于是我们可以取初始三边为
\[ a,ar,ar^2.\]
做一次操作后，最长边\(ar^2\)变为
\[ ar^2-(a+ar)=a(r^2-r-1)=\frac{a}{r}\]
因此新三边正好是
\[ \frac{a}{r},a,ar,\]
这恰好是原来三边整体缩小\(\frac{1}{r}\)倍后的结果。
另外，由
\[ r^2-r-1=\frac{1}{r}>0\]
可知\(ar^2>a+ar\)，所以初始确实不能组成三角形；而缩放并不会改变这一性质，因此以后每一步也都仍然不能组成三角形。
这样一来，每做一步都只是把三边同时乘上\(\frac{1}{r}\)，比例关系始终不变；因此它们永远不会组成三角形，而最长边在任何有限步后也都不会恰好变成\(0\)。所以这个过程可以无限进行下去。
补充：上面的“无限进行”是纯数学意义下的理想化结论，把木棍看成可以无限细分的连续线段。若回到物理世界，真要一直切下去，迟早要把问题交给量子尺度甚至普朗克尺度；到那时，限制我们的就不只是三角形不等式，而是整个物理学了。