题目
证明：任何一个凸多面体都存在两条边数相同的面。
分析
我们挑选一个面，它的边数最大（\(E\)）。显然，它和\(E\)个面相连（一条邻边就是两个面的交线），所以这个凸多面体至少有\(E+1\)个面。但是，这些面的边数只能是3到E（\(E-2\)个数），根据鸽笼原理，显然至少有两个面的边数一样。
当然，我们这个估计（或者说证明）是保守的。我们可以证明更强的情况。
取一个边数最大的面，设边数为 \(E\)。该面与 \(E\) 个邻面共 \(E+1\) 个面；可能的边数值为 \(3,4,\dots,E\)，共有 \(k=E-2\) 种。先在每个盒子中各放1个球，耗去 \(k\) 个球，剩余球数为\(r=(E+1)-k=E+1-(E-2)=3\)。
把这 3 个额外的球分配到\(k\)个盒子中，不计盒子顺序，所有分配类型只有三类：
- \(3=3\)：某盒子额外得3个，故该盒总数为\(1+3=4\)，出现四重；
- \(3=2+1\)：一盒得2（总数 3），另一盒得1（总数 2），即“三重+一对”；
- \(3=1+1+1\)：三个不同盒子各得1（各为 2），即至少三对。
若 \(k<3\)，某些分配类型在盒数上不可行，但仍必有可行的分配落入上述三类之一（例如 \(k=1\) 只能是 \(3\)，\(k=2\) 只能是 \(3\) 或 \(2+1\)）。因此在所取的 \(E+1\) 个面中，必然出现：三对、或三重+一对、或四重之一。
证毕。