题目
一百名囚犯有机会通过以下游戏获得自由：在黑暗中，每人会被随机戴上一顶红帽或黑帽（抛硬币决定）。亮灯后，每个人能看到其他人的帽子颜色，但看不到自己的，且不能交流。每个人需要写下自己帽子的颜色，只有全部猜对才能获释。囚犯们可以事先商量策略。请问，如何最大化他们获胜的概率？
分析
每个人都能看到其他人的帽子颜色，但无法与他人交流。由于每个人的帽子是独立抛硬币决定的，所有帽子分布共有\(2^{100}\)种可能。若每个人只能独立猜测，则每个人猜对的概率为\(\frac{1}{2}\)，全部猜对的概率为\(2^{-100}\)，太小了。
但囚犯们可以事先约定如下策略：
- 约定“所有人都假设自己看到的帽子颜色总数（比如红帽数量）是偶数”，并据此推断自己的帽子颜色。
- 具体做法：每个人数一数自己看到的红帽数量。如果他看到的红帽数是偶数，就猜自己是黑帽；如果看到的是奇数，就猜自己是红帽。
- 这样一来，实际上只有当所有人头上红帽总数为偶数时，所有人都猜对（因为每个人的推断和实际一致）；如果总数为奇数，则所有人都猜错。
因此，这种策略下，囚犯们全部猜对的概率为\(\frac{1}{2}\)，比完全随机猜测高得多。