题目
设有一个方阵：每一行中最大的两个数之和都等于\(r\)；每一列中最大的两个数之和都等于\(c\)。
证明：\(r=c\)。
分析
用反证法。若结论不成立，不妨设\(r\gt c\)（另一种情况由行列对称同理）。
在每一行中，把最大数圈出，把次大数打方框。于是每一行都有一对"圈+框"，其和为\(r\)。
先看所有被圈出的数。若某个被圈数\(\lt r/2\)，则同一行里"圈+框"之和就会\(\le r\)，矛盾；所以每个被圈数都\(\ge r/2\)。
又因为我们假设每一列里最大的两个数之和是\(c\lt r\)，所以同一列不可能出现两个被圈数（否则这两个被圈数都\(\ge r/2\)，其和\(\ge r\gt c\)）。因此，被圈数分别落在不同列。
示意图：下图展示关键变量的位置（粗体=圈出，\(\boxed{\phantom{0}}\)=方框）：
\[ \begin{pmatrix} \cdots & \mathbf{y} & \boxed{z} & \cdots \\ \cdots & \boxed{x} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix} \quad\leftarrow \begin{matrix} \text{第 }j\text{ 列} \\ \text{（}x\text{ 所在列）} \end{matrix}\]
先取所有方框数中的最大者\(x\)，设它位于第\(j\)列。再看同一列中的圈出数，记为\(y\)（由前面结论，每列恰有一个圈出数）。最后看\(y\)所在行中的方框数，记为\(z\)。
由\(y\)所在行的定义有\(y+z=r\)。在第\(j\)列里，\(y\)与\(x\)同列，所以该列最大的两个数之和至少是\(y+x\)。按题设该和等于\(c\)，故\(y+x\le c\)。
又由于\(x\)是所有方框数中的最大者，故\(x\ge z\)。于是\(y+x\ge y+z=r\)。
合并得\(r\le y+x\le c\)，这与\(r\gt c\)矛盾。
故假设不成立，只能有\(r=c\)。