题目
一轮满月大约占据天空面积的几分之几？
分析
一个常见近似是直接用“平方度”来算。
满月的视直径约为\(0.5^\circ\)，所以把它看成天空中的一个小圆盘，其面积近似为
\[ A_{\text{moon}}\approx\pi\left(\frac{0.5}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}\]
平方度。
再来算整个可见天空有多少平方度。这里的做法不是在说天球有一个真正的几何半径，而是在把球面面积换算成“平方度”时，引入一个对应的角半径。
因为整圆周角是\(360^\circ=2\pi\)弧度，所以这个角半径的数值是
\[ r=\frac{180}{\pi}.\]
也就是说，这里的\(r\)本质上是“每弧度等于多少度”，不是通常意义下的长度半径。
于是半个天球的面积可写成
\[ A_{\text{sky}}=\frac{1}{2}\cdot4\pi r^2=2\pi\left(\frac{180}{\pi}\right)^2=\frac{2\cdot180^2}{\pi}\]
平方度。
所以满月占天空的比例约为
\[ \frac{A_{\text{moon}}}{A_{\text{sky}}}=\frac{\pi/16}{2\cdot180^2/\pi}=\frac{\pi^2}{32\cdot180^2}\approx\frac{1}{105050}.\]
也就是说，满月大约只占可见天空的十万分之一。
这和用球面几何加小角近似得到的结果一致；因为月亮的视角很小，这里把它当成平面上的小圆盘来算，已经足够准确。
不过这道题还有一个默认前提：你得先知道一个常识，即满月的视直径大约是\(0.5^\circ\)。