题目
设一个凸立体在三个坐标平面上的正交投影全都是圆盘。这个立体一定是一个完美的球体吗？
分析
不一定。
一个标准反例是三个彼此垂直、半径都为\(1\)的圆柱的交集。
\[ x^2+y^2\le1, \qquad y^2+z^2\le1, \qquad z^2+x^2\le1.\]
这个立体显然是凸的，因为它是三个凸集的交。
下面看它在\(xy\)平面上的投影。
- 如果空间中的点\((x,y,z)\)属于这个立体，那么一定有\(x^2+y^2\le1\)，所以它投到\(xy\)平面后，落点只能在单位圆盘内。
- 反过来，如果平面点\((x,y)\)满足\(x^2+y^2\le1\)，那么取\(z=0\)，就有
\[ y^2+z^2=y^2\le1, \qquad z^2+x^2=x^2\le1,\]
因此\((x,y,0)\)确实在这个立体里。
所以它在\(xy\)平面上的投影恰好是单位圆盘。由完全相同的理由，它在\(yz\)平面和\(zx\)平面上的投影也都是单位圆盘。
但这个立体并不是球。因为它包含点
\[ \left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right),\]
此时三条不等式都正好取等号，所以这点在边界上；而它到原点的距离是
\[ \sqrt{\frac12+\frac12+\frac12}=\sqrt{\frac32}>1.\]
如果它真是球，那么由于三个投影都是以原点为中心的单位圆盘，这个球只能是以原点为中心、半径为\(1\)的球；可上面这个边界点却在这个单位球之外，矛盾。
因此答案是否定的：一个凸立体即使在三个坐标平面上的投影全都是圆盘，也未必是球。