题目
你和朋友Amit面前有4只樱桃碗，里面分别装着\(5,6,7,8\)颗樱桃。
你们轮流行动；每次可以任选一只碗，并从中取走至少1颗樱桃。
如果你先手，并且想确保最后一颗樱桃是Amit取走的，那么你的第一步应该从哪只碗里取走几颗樱桃？
分析
这是一个经典的Nim变形题。
它和前面的普通版本正好成对出现；如果你想对照着看，可以参考Life Is a Bowl of Cherries。
如果题目目标是“让对方拿到最后一颗”，那么这就是所谓的misere Nim。这里一开始4堆樱桃的数量分别是\(5,6,7,8\)，并且至少有两堆的数量大于\(1\)，所以在这种局面下，最优策略和普通Nim完全一样：先把4堆的异或和调成\(0\)。
原因是：misere Nim和普通Nim的唯一区别，只出现在残局“所有非空堆都只剩\(1\)颗”时。因为到了那个阶段，玩家已经不能再通过“多拿几颗”改变局面的结构，只能每次消去一个\(1\)。
而在此之前，只要还存在某一堆大于\(1\)，局面就和普通Nim一样，仍然可以用“把异或和调成\(0\)”这一标准策略来控制节奏，把对手反复送回到必败型局面。
把4个数写成二进制：
- \(5=0101\)
- \(6=0110\)
- \(7=0111\)
- \(8=1000\)
它们的异或和是\(5\oplus6\oplus7\oplus8=12\)。
因此先手应当把某一堆改成“原数异或\(12\)”之后得到的更小值。逐个检查：
- \(5\oplus12=9\)，比\(5\)大，不能这样改；
- \(6\oplus12=10\)，比\(6\)大，不能这样改；
- \(7\oplus12=11\)，比\(7\)大，不能这样改；
- \(8\oplus12=4\)，比\(8\)小，可以把这一堆从\(8\)改成\(4\)。
所以你的第一步应当是：从装有8颗樱桃的碗里拿走4颗。
这样局面就变成\(5,6,7,4\)，而\(5\oplus6\oplus7\oplus4=0\)。
不过，这里有一个关键细节：不能把“始终把异或和调成\(0\)”这件事机械地执行到最后。
正确的做法是：在还有至少两堆樱桃数大于\(1\)时，策略和普通Nim完全一样，也就是每次都把局面重新调成异或和\(0\)。这样反复进行，局面最终会进入这样一种残局：只剩一只碗里多于\(1\)颗樱桃，其余每个非空碗里都恰好只剩\(1\)颗。
设这时除了那只“较大的碗”之外，另外还有\(m\)只碗各剩\(1\)颗樱桃。
这时就不能再照搬普通Nim的规则了，而要改用misere Nim的残局策略：
- 如果\(m\)是奇数，就把那只较大的碗一次拿空；
- 如果\(m\)是偶数，就把那只较大的碗减到只剩\(1\)颗。
这样做的目的，是把一个奇数个\(1\)的局面留给Amit。
因为当所有非空碗里都只剩\(1\)颗樱桃时，玩家每一步都只能拿走其中一整碗，也就是拿走一个\(1\)。于是：
- 面对\(1\)个\(1\)的人会立刻输，因为他只能拿走最后一颗；
- 面对\(2\)个\(1\)的人会赢，因为他拿走一个后，给对方留下\(1\)个；
- 一般地，面对奇数个\(1\)的人必败，面对偶数个\(1\)的人必赢。
所以，无论\(m\)的奇偶如何，你都可以在这个阶段把“奇数个\(1\)”留给Amit。此后双方只能一颗一颗地拿，奇偶性轮流变化，最后就会轮到Amit去拿那最后一颗樱桃。
