题目
George只有$500，全部存在银行账户里。他现在急需现金，但唯一可用的是一台坏掉的ATM： 这台机器只能进行“每次恰好取款$300”或“每次恰好存款$198”的操作。 问：George最多能从账户里拿到多少现金？
分析
设银行账户余额为\(A\)，手中现金为\(C\)。
有两个关键不变量：
- 总额不变：\(A+C=500\)。
- 每次操作使账户变化\(-300\)（每次取款$300）或\(+198\)（每次存款$198），而\(\gcd(300,198)=6\)，所以\(A\bmod 6\)不变。
初始\(A=500\equiv 2\pmod 6\)，因此任意时刻都有\(A\equiv 2\pmod 6\)。 由\(C=500-A\)可得\(C\equiv 0\pmod 6\)，也就是现金必须是6的倍数。
因为\(C\le 500\)，所以现金的理论上界是\(498\)（不超过500的最大6的倍数）。
接下来证明\(498\)确实可达。
先构造一个“现金每次增加6”的合法循环。若当前现金为\(c\)（其中\(0\le c\le 96\)且\(c\)为6的倍数），执行：
- 取款$300：\(c\to c+300\)
- 存款$198：\(c+300\to c+102\)
- 取款$300：\(c+102\to c+402\)
- 存款$198：\(c+402\to c+204\)
- 存款$198：\(c+204\to c+6\)
所以该5步操作把现金从\(c\)变成\(c+6\)，且各步都合法。
从初始\(c=0\)开始重复该循环，可到达\(c=96\)。
然后执行：
- 取款$300，再存款$198：\(96\to 396\to 198\)
- 再取款$300：\(198\to 498\)
因此可以取出的最多现金为\(\boxed{498}\)。