题目
平均来说，需要掷骰子多少次，才能使六个不同的点数都至少出现过一次？
分析
这是经典的“集齐所有种类”问题。
不妨把过程分成六个阶段来看。
- 一开始还没有见过任何点数，因此第一次掷骰子一定会得到一个新点数，所需次数的期望是\(1\)。
- 当你已经见过\(1\)个不同点数时，还剩\(5\)个没出现。下一次掷出“新点数”的概率是\(\frac{5}{6}\)，因此还需要等待的次数期望是\(\frac{6}{5}\)。
- 当你已经见过\(2\)个不同点数时，下一次掷出新点数的概率是\(\frac{4}{6}\)，因此等待次数期望是\(\frac{6}{4}\)。
- 依此类推，后面几段的期望分别是\(\frac{6}{3},\frac{6}{2},\frac{6}{1}\)。
把这些阶段加起来，总期望为
\[ 1+\frac{6}{5}+\frac{6}{4}+\frac{6}{3}+\frac{6}{2}+\frac{6}{1}=14.7\]
所以平均而言，需要掷14.7次，才能把六个不同点数全部掷到。