题目
平均要抛多少次硬币，才会第一次出现这样一段连续正面：这段正面的长度是奇数，并且它的前后都紧挨着反面？
分析
先要出现一个前导反面。因为一开始如果连续出现正面，并不能作为所求串的开头。
设等到第一个反面所需的期望次数为\(x\)。每次先抛1次：
如果出了反面，过程结束；
如果出了正面，等于白费，还需要再等\(x\)次。
因此\(x=1+\frac{1}{2}x\Rightarrow x=2\)。
接下来，假设我们已经有了这个前导反面。设从这时起，到第一次出现所求模式\(TH^{2k+1}T\)还需要的期望次数为\(y\)。
从这里开始看：
- 如果下一次抛出\(T\)，概率是\(\frac{1}{2}\)，那么没有任何进展，花了1次后仍然处于同样状态；
- 如果接下来两次抛出\(HH\)，概率是\(\frac{1}{4}\)，也没有实质进展，因为偶数个连续正面不能完成目标，且之后仍然等价于重新开始等待一个奇数长度的正面串被\(T\)截住；
- 如果接下来两次抛出\(HT\)，概率是\(\frac{1}{4}\)，就恰好完成目标。
于是\(y=\frac{1}{2}(1+y)+\frac{1}{4}(2+y)+\frac{1}{4}\cdot2 \Rightarrow y=6\)。
所以总期望为\(x+y=2+6=8\)。