题目
有\(100\)名囚犯参加一个游戏。每个人在黑暗中会被随机戴上一顶红帽或黑帽（独立且等概率）。
亮灯后，每个人都能看到其他\(99\)人的帽子颜色，但看不到自己的，而且不允许交流。
随后每个人都要写下自己帽子的颜色猜测。如果至少有一半人（即至少\(50\)人）猜对，全部囚犯就会被释放。
囚犯们可以在游戏开始前先商量策略。问：怎样的策略能把获胜概率最大化？
分析
按你说的做法，可以把\(100\)人预先分成两组，各\(50\)人：
- 第一组统一采用“总红帽数是奇数”的假设；
- 第二组统一采用“总红帽数是偶数”的假设。
每个囚犯都能看到其他\(99\)人的帽子。设他看到的红帽数为\(r\)。
- 若他所在组假设总红帽数为奇数，那么他就猜：当\(r\)为偶数时自己是红帽，当\(r\)为奇数时自己是黑帽。
- 若他所在组假设总红帽数为偶数，那么他就猜：当\(r\)为偶数时自己是黑帽，当\(r\)为奇数时自己是红帽。
也就是说，每个人都按“让整体红帽奇偶性符合本组假设”的方式来反推自己的帽色。
现在看真实情况：总红帽数要么是奇数，要么是偶数。
- 如果真实总红帽数是奇数，那么“奇数组”的\(50\)人全部猜对；“偶数组”全部猜错。
- 如果真实总红帽数是偶数，那么“偶数组”的\(50\)人全部猜对；“奇数组”全部猜错。
因此无论哪种情况，都会有恰好\(50\)人猜对，满足“至少一半人猜对”的释放条件。
所以囚犯获胜概率为\(100\%\)。