题目
在一张多边形台球桌上击出一个球。台球桌不一定是凸的，但每个角都是直角，并且每条边都平行于东西方向或南北方向。
球从某个角出发，而且这个出发角是一个凸角，即内角为\(90^\circ\)。
台球桌的每个角上都有袋口，因此如果球恰好撞到某个角，就会立刻落袋；否则它会按理想反射定律反弹，且没有能量损失。
问：球有没有可能最终回到它出发的那个角？
分析
不可能。
我们用反证法。假设确实存在这样的一次击球，能够让球最后回到出发角。
由于出发角是凸角，所以球出发时只能朝某个象限射出。不妨设它一开始沿东北方向前进。若它最后回到原角，那么回到该角时方向必为西南方向。
把两次碰壁之间的一段直线路径称为一“程”。每次反弹时，球只会有一个方向分量改变：
- 若撞到东西向的边，则南北方向翻转；
- 若撞到南北向的边，则东西方向翻转。
因此每次反弹只会把方向记号中的一个字母改掉。例如，NE只能变成SE或NW。
现在看从NE变到SW需要什么条件。东西方向要从E变成W，南北方向要从N变成S，所以这两个分量都必须各自翻转奇数次。于是总反弹次数必为偶数。设总共反弹了\(2m\)次，那么整条轨迹就被分成\(2m+1\)程，是奇数程。
接着看这条轨迹的对称性。所有NE方向的程彼此平行，所有SW方向的程也彼此平行；同理，所有NW方向的程彼此平行，所有SE方向的程也彼此平行。特别地，第一程和最后一程必在同一直线上，只是方向相反。
而反射定律是可逆的：若一条路径正着走是合法的，那么倒着走也同样合法。于是，这条“从起点出去再回到起点”的整条路径，正反看应当完全一样；换句话说，碰壁点的序列必须是一个回文。
设依次碰到的点为\(P_1,P_2,\dots,P_{2m}\)。由于整条路径前后对称，就有
\[ P_i=P_{2m+1-i}\qquad(1\le i\le 2m).\]
令\(i=m\)，便得到
\[ P_m=P_{m+1}.\]
这说明中间两次碰壁发生在同一点，也就是说中间有一程的长度为\(0\)。这显然不可能，因为每一程都应该是一段真正的直线运动。
矛盾由此产生，所以原先的假设不成立。
因此，球不可能回到它出发的那个角。