题目
Alice和Bob打乒乓球。Bob每个回合赢得这一分的概率为\(30\%\)。他们一直打到其中一人先得到\(21\)分。平均要打多少分？
分析
Alice和Bob每一分独立进行，Bob赢一分的概率为\(0.3\)，Alice赢一分的概率为\(0.7\)。
比赛的结束条件是先得到21分的一方获胜。因为Bob的胜率较低，Alice几乎肯定会先达到21分，Bob反而几乎不会在Alice之前先拿到21分。
如果我们只看Alice何时拿到第21分，这就是一个负二项分布问题：Alice每次赢的概率为\(0.7\)，要得到21个成功，所需总分数的期望是
\(21\div 0.7=30\)
也可以这样理解：在Alice拿到21分之前，预期她会输掉的分数是
\(21\cdot\frac{0.3}{0.7}\approx 9\)
因此Alice获胜的比赛预计总共进行的分数约为\(21+9=30\)。
对于Bob先拿到21分的情况，其概率极小，几乎可以忽略不计。因为Bob要拿到21分时，Alice的期望得分已经远超20分，故Bob先胜的概率在\(10^{-10}\)量级以下。于是比赛的期望长度基本等于Alice先达到21分时的期望点数。