题目
桌上放着50块走时准确的手表和一颗很小的钻石。
证明：存在某一个时刻，钻石到所有分针针尖的距离之和，严格大于钻石到所有手表中心的距离之和。
分析
关键是不要盯着某一个时刻，而是看一整个小时内的平均值。
设钻石的位置为\(D\)。第\(i\)块手表的中心为\(W_i\)，分针针尖在时刻\(t\)的位置记为\(m_i(t)\)。
因为手表都走时准确，所以对每一块表来说，在1小时内，分针针尖都会绕着对应的表心转完一整圈。
于是，对固定的一块表\(i\)，我们只需证明：
钻石到针尖的距离，在一整圈上的平均值，严格大于钻石到表心的距离。
一旦这一点成立，把50块表加起来就行了。
下图画的是单块手表与钻石的几何关系示意图。图中W表示表心，m表示分针针尖，D表示钻石中心；L只是一条过D的辅助直线，在下面的证明里不会用到。正文中的\(W_i,m_i(t),D\)正是这套记号的多表版本：
先看单独一块表
考虑相隔半小时的两个时刻\(t\)和\(t'\)，其中\(t'\)表示\(t+30\)分钟。
这两个时刻的分针针尖\(m_i(t)\)和\(m_i(t')\)正好是该圆上的一对对径点，所以它们关于圆心\(W_i\)对称。用向量写就是：
\[ \overrightarrow{Dm_i(t)}+\overrightarrow{Dm_i(t')}=2\overrightarrow{DW_i}\]
这个式子可以这样理解。因为\(W_i\)是表心，所以
\[ \overrightarrow{Dm_i(t)}=\overrightarrow{DW_i}+\overrightarrow{W_im_i(t)}, \qquad \overrightarrow{Dm_i(t')}=\overrightarrow{DW_i}+\overrightarrow{W_im_i(t')}\]
而\(t'\)比\(t\)晚半小时，所以分针刚好转了半圈，两个针尖关于表心对称，因此
\[ \overrightarrow{W_im_i(t')}=-\overrightarrow{W_im_i(t)}\]
把这两式相加，后面的两个半径向量正好抵消，就得到
\[ \overrightarrow{Dm_i(t)}+\overrightarrow{Dm_i(t')}=2\overrightarrow{DW_i}\]
对两边取长度，并用三角不等式，得到：
\[ |Dm_i(t)|+|Dm_i(t')| \geq \left|\overrightarrow{Dm_i(t)}+\overrightarrow{Dm_i(t')}\right| =2|DW_i|\]
也就是说，这两个相隔半小时的距离的平均值，至少是\(|DW_i|\)。
而且这个不等式实际上是严格大于的，除非这两个向量刚好落在同一条直线上且同向。对这里的圆周运动来说，这种退化情形在一整圈里至多只会发生在两个时刻；除去这几个特殊时刻之外，其余时刻都是严格大于。
因此，把整整一小时内的所有时刻平均起来，就有：
\[ \frac1T\int_0^T|Dm_i(t)|\,dt>|DW_i|\]
这里\(T=1\)小时。
再把50块表加起来
把上式对\(i=1,2,\dots,50\)求和，得到：
\[ \frac1T\int_0^T\sum_{i=1}^{50}|Dm_i(t)|\,dt > \sum_{i=1}^{50}|DW_i|\]
这句话的意思是：
在一整小时内，“钻石到所有针尖距离之和”的平均值，严格大于“钻石到所有表心距离之和”。
既然平均值已经严格大于后者，那么不可能每一个时刻都小于等于后者。否则平均值也会小于等于后者，矛盾。
所以，必定存在某一个时刻\(t\)，使得
\[ \sum_{i=1}^{50}|Dm_i(t)|> \sum_{i=1}^{50}|DW_i|\]
这正是题目要证明的结论。
一句话总结
这道题的本质是：
对任意一个圆，固定点到圆周点的距离的平均值，严格大于固定点到圆心的距离。
把这个事实对50块表分别使用，再求和，就得到结论。