Bidding in the Dark

题目

你有一次机会对一个小工具出一次价。就你所知，该物品对其所有者的价值在\(0\)到\(100\)之间均匀随机。你知道你操作该物件的能力远胜于他，因此该物件对你来说的价值比对他高\(80\%\)。如果你出价高于该物品对所有者的估值，他就会卖给你。但你只有一次机会。你应该出多少价？

分析

答案：不要出价（或出\(0\)）。

解析一（计算）: 令 \(V\sim\mathrm{Uniform}(0,100)\) 为拥有者的估值，你的估值为\(1.8V\)。若出价为\(B\)，则当\(V<B\)时你中标，利润为\(1.8V-B\)。因此

\[ \mathbb{E}[\text{profit}] =\frac{1}{100}\int_0^B(1.8V-B)\,dv =\frac{1}{100}\Big(\int_0^B1.8V\,dv-\int_0^B B\,dv\Big) =\frac{1}{100}(0.9B^2-B^2) =-0.001B^2.\]

因此最大化时\(B=0\)。¹

解析二（直觉）: 若你出价\(x\)且成交，则在已成交的条件下拥有者的估值在\([0,x]\)上均匀分布，条件期望\(\frac{x}{2}\)。 因此该物件对你的期望价值为\(1.8\cdot\dfrac{x}{2}=0.9x\)，小于你支付的\(x\)，所以每次成交时你平均亏损，不成交则无得失，故最佳策略是不出价。