题目
Paula把一副牌充分洗匀，然后从牌顶开始一张一张翻开。
在任意时刻，Victor都可以叫停，并押$1赌下一张牌是红牌。他只能下注一次；如果他始终不叫停，那么就等于自动押最后一张牌是红牌。
问：Victor的最佳策略是什么？他最多能把胜率提高到比\(50\%\)高多少？
（假设这副牌里有26张红牌和26张黑牌。）
分析
答案是：他根本不能把胜率提高到超过\(50\%\)。
也就是说，最佳胜率就是\(\frac{1}{2}\)。
所以所谓“最佳策略”其实是：怎么停都一样。立刻下注可以，等到后面再下注也可以，期望胜率始终都是\(\frac{1}{2}\)。
关键在于下面这个量。
假设当前还剩\(r\)张红牌、\(b\)张黑牌没有翻开，那么如果Victor此刻下注，他赢的概率就是\(\frac{r}{r+b}\)。
现在看再多翻一张之后会怎样。
- 如果下一张是红牌，概率为\(\frac{r}{r+b}\)，那么新的赢面变成\(\frac{r-1}{r+b-1}\)；
- 如果下一张是黑牌，概率为\(\frac{b}{r+b}\)，那么新的赢面变成\(\frac{r}{r+b-1}\)。
因此，多看一张牌以后，Victor未来“下注即赢”的概率期望是
\[ \frac{r}{r+b}\cdot\frac{r-1}{r+b-1}+\frac{b}{r+b}\cdot\frac{r}{r+b-1}.\]
化简得
\[ \frac{r(r-1)+br}{(r+b)(r+b-1)} =\frac{r(r+b-1)}{(r+b)(r+b-1)} =\frac{r}{r+b}.\]
也就是说：如果现在的赢面是\(\frac{r}{r+b}\)，那么无论先多看一张牌再决定，平均下来赢面仍然是\(\frac{r}{r+b}\)，并不会变好。
一开始还没翻牌时，\(r=b=26\)，所以当前赢面就是\(\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)。
而上面的计算说明：每往后看一张牌，虽然有时局面对Victor更有利，有时更不利，但平均而言他的赢面始终保持不变。
所以无论Victor采用什么停止规则，只要这个规则只依赖于已经翻出的牌，他最终下注时的平均赢面仍然只能是\(\frac{1}{2}\)。
这就证明了他不可能做得比五五开更好。
直观理解
例如，Victor当然可以等到“剩余红牌多于黑牌”时再下注；那样一旦下注，当时的胜率确实会高于\(\frac{1}{2}\)。但与之对应，也会有一些局面使他迟迟等不到理想时机，甚至最后被迫在很差的位置下注。两方面恰好完全抵消。