题目
接上题，现在把规则改成更有利于Victor：不再由Paula任意写数，而是独立地从区间\([0,1]\)上的均匀分布中随机生成两个数。
为了补偿Paula，允许她先看到这两个随机数，再决定把其中哪一个展示给Victor。
Victor看到这个数后，仍要判断它是两数中较大的还是较小的。猜对赢\(1\)美元，猜错输\(1\)美元。
问题：Victor能否把胜率提升到严格大于\(\frac{1}{2}\)？双方的最优（均衡）策略是什么？
分析
这题的关键是：Paula虽然不能选数，但可以选“给你看哪一个数”。这足以把游戏压回严格公平。
Paula策略很简单：看到两个数后，把更接近\(\frac{1}{2}\)的那个给Victor看。
设Victor看到的是\(x\)。
- 若\(x<\frac{1}{2}\)： 未展示的另一个数只能落在\([0,x]\cup[1-x,1]\)。 其中\([0,x]\)对应“另一个数比\(x\)小”，\([1-x,1]\)对应“另一个数比\(x\)大”。 而这两段长度都等于\(x\)，所以两种情况等概率。
- 若\(x>\frac{1}{2}\)： 同理，未展示数只能在\([0,1-x]\cup[x,1]\)，两段长度都等于\(1-x\)，所以“比\(x\)小/大”仍然等概率。
- 若\(x=\frac{1}{2}\)： 对称性下显然也是各占一半。
因此，在Paula这套策略下，Victor看到任何\(x\)时，都无法从\(x\)里提取偏向信息；“这数是较大者”与“这数是较小者”条件概率始终各为\(\frac{1}{2}\)。所以Victor的最优也只能是纯猜，胜率最多\(\frac{1}{2}\)。
另一方面，Victor总可以忽略看到的数，直接抛硬币猜“大/小”，保证胜率至少\(\frac{1}{2}\)。
两边合起来，博弈值正好是\(\frac{1}{2}\)，游戏严格公平。
对应的均衡可写为：
- Paula：总是展示离\(\frac{1}{2}\)更近的那个数；
- Victor：任意不依赖信息的对半随机猜测（例如抛硬币）。