题目
在区间\([0,1]\)上独立且均匀地随机选取\(n\)个数。问：这\(n\)个数中最小值的期望是多少？
分析
答案是\(\frac{1}{n+1}\)。
一个很直观的证明是把线段问题改看成圆周问题。
在周长为\(1\)的圆周上，独立且均匀地随机取\(n+1\)个点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)。这\(n+1\)个点把整个圆周分成\(n+1\)段弧。由于对称性，这\(n+1\)段弧的期望长度都相同，而它们的总长度为\(1\)，所以每一段弧的期望长度都是
\[ \frac{1}{n+1}\]
现在在\(x_0\)处把圆剪开，并沿顺时针方向拉直成一条长度为\(1\)的线段。这样一来，其余\(n\)个点\(x_1,\dots,x_n\)在线段上仍然是独立均匀分布的；而这\(n\)个点中的最小值，恰好就是从\(x_0\)出发沿顺时针方向遇到的第一个点到\(x_0\)的距离。
因此，原问题中“最小值”的期望，正好等于圆周上相邻两点之间一段弧长的期望，也就是
\[ \frac{1}{n+1}\]
如果想直接计算，也可以这样做。设这\(n\)个随机数为\(X_1,\dots,X_n\)，它们的最小值记为
\[ M=\min(X_1,\dots,X_n)\]
对任意\(t\in[0,1]\)，当且仅当所有\(X_i\)都大于\(t\)时，才有\(M>t\)。而每个\(X_i\)大于\(t\)的概率都是\(1-t\)，又因为它们彼此独立，所以
\[ \mathbb P(M>t)=(1-t)^n\]
于是
\[ \mathbb E[M]=\int_0^1\mathbb P(M>t)\,dt=\int_0^1(1-t)^n\,dt=\frac{1}{n+1}\]