题目
钱斯夫人有两个年龄不同的孩子。至少有一个是星期二出生的男孩。问：这两个孩子都是男孩的概率是多少？
分析
先提示一下：答案不是\(\frac{1}{2}\)！
先讲直觉：
如果题目只说“至少有一个男孩”，答案是\(\frac{1}{3}\)； 现在题目多给了一个很具体的信息“这个男孩是星期二出生”。
这个额外信息会把样本往“两个都是男孩”那边拉一点，原因是：
- 一个家庭只有1个男孩时，只有1次机会命中“星期二男孩”；
- 一个家庭有2个男孩时，有2次机会命中“星期二男孩”。
所以在被筛选出来的家庭里，“双男孩”会更常见，概率会高于\(\frac{1}{3}\)。 但它又不会到\(\frac{1}{2}\)，因为“双男孩且两人都周二出生”并不会算两次，只算一次“至少有一个”。
下面做精确计数。
把两个孩子按“老大、老二”区分开（题目说年龄不同，本来就可区分），每个孩子有\(2\times7=14\)种等可能状态（性别2种，星期7种）。
所以样本空间大小是
\[ 14\times14=196.\]
设事件：
- \(A\)：至少有一个“星期二出生的男孩”；
- \(B\)：两个孩子都是男孩。
我们要求的是条件概率\(P(B\mid A)\)：
\[ P(B\mid A)=\frac{|A\cap B|}{|A|}.\]
先数\(|A|\)。
对任意一个孩子，“是星期二男孩”的概率是\(\frac{1}{14}\)，所以“不是星期二男孩”的概率是\(\frac{13}{14}\)。两个孩子都不是星期二男孩的概率是
\[ \left(\frac{13}{14}\right)^2.\]
因此
\[ P(A)=1-\left(\frac{13}{14}\right)^2=\frac{27}{196},\]
所以
\[ |A|=196\cdot\frac{27}{196}=27.\]
再数\(|A\cap B|\)。
先限制在“两个孩子都是男孩”里：这时每个孩子只剩“星期几”7种可能，所以共有
\[ 7\times7=49\]
种等可能情况。
在这49种里，“至少一个星期二”=“总数−都不是星期二”=
\[ 49-6\times6=13.\]
故\(|A\cap B|=13\)。
最终
\[ P(B\mid A)=\frac{13}{27}.\]
答案： 两个孩子都是男孩的概率是\(\frac{13}{27}\)。