题目
在三维空间中，最多能取多少个格点（即三坐标都是整数的点），使得任意两点之间的线段上都不存在第三个格点？
分析
答案是\(8\)。
把每个格点\((x,y,z)\)按坐标奇偶性分类，只看\((x\bmod2,y\bmod2,z\bmod2)\)。每个坐标只有奇偶两种可能，因此一共只有\(2^3=8\)类。
如果我们取了\(9\)个点，根据抽屉原理，必有两个点\(A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)\)落在同一类，即
\[ x_1\equiv x_2\pmod2,\ y_1\equiv y_2\pmod2,\ z_1\equiv z_2\pmod2。\]
于是它们的中点
\[ M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)\]
三个坐标都是整数，\(M\)就是一个格点，而且\(M\)在线段\(AB\)上。这与题目条件矛盾。
所以这样的点集大小最多是\(8\)。
下面给出可达到\(8\)的构造：取单位立方体8个顶点
\[ (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)。\]
任意两点坐标差都在\(\{-1,0,1\}\)中，且不全为\(0\)，因此三坐标差的最大公因数为\(1\)，两点连线段内部不会再经过格点。
这说明上界\(8\)可以达到，故最大值就是\(8\)。