题目
一架天平放在科学老师McGregor女士的桌上。天平上有若干砝码，目前天平向右倾。在每个砝码上至少刻有一个学生的名字。每位学生进入教室时，会把所有带有自己名字的砝码移到天平的另一侧。问：是否一定存在一组允许进入的学生，使天平被掀向左侧？
分析
直观分析
把所有可能的学生组合都列出来（包括谁都不放和全部放）。看任意一块砝码，从它上面挑出刻名的一个学生（至少有一个）。在所有学生组合中，恰好一半包含该学生、一半不包含；当包含时这块砝码在一边，不包含时在另一边。因此这块砝码在所有组合里恰好一半时间在左、一半时间在右。对每块砝码都这样算，得到：所有组合的平均结果是天平平衡（左右总重相等）。
现在空集合（谁都不放）使天平向右倾，于是平均为平衡必然意味着存在至少一个组合使天平向左倾。也就是说，确实存在一组学生进来后能把天平掀向左。
（直观要点：对每块砝码用“挑一个名字，把所有组合按是否包含该名字配对”的方法，保证该砝码在所有组合中左右出现次数相等，从而总体平均平衡。）
严格证明
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记砝码按索引为\(i\)，质量为\(w_i\)。初始时每个砝码在左或右一侧；令右侧计为正、左侧计为负，初始符号为\(s_i\)（\(s_i=+1\)表示在右，\(s_i=-1\)表示在左）。初始总差定义为
\[ T(\varnothing)=\sum_i s_i w_i\]
题中给出 \(T(\varnothing)>0\)（初始向右）。
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每位学生对应一组要翻转的砝码（把这些砝码移到另一侧）。对任意允许进入的学生子集\(X\)，记最终的右减左总重为\(T(X)\)。翻转一块砝码相当于把它的符号乘以\(-1\)，因此\(T(X)\)可以看成某些砝码符号被翻转后的带符号加权和。
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为了求所有可能\(X\)的平均值，固定某个砝码\(i\)，并从刻名学生中任选一位\(p_i\)。把所有学生子集两两配对：每对为\((Y,\;Y\cup\{p_i\})\)（或等价地，以是否包含\(p_i\)为准配对）。在配对的两个子集中，除\(p_i\)外其它学生选择相同，因此砝码\(i\)在这两个子集中恰好一次在左一次在右，对这两个子集的贡献之和为\(0\)。
解释：固定砝码\(i\)，从其刻名中选一个学生\(p_i\)。把所有学生集合分成两类：不包含\(p_i\)的集合\(Y\)和包含\(p_i\)的集合\(Y\cup\{p_i\}\)。每个不包含\(p_i\)的集合\(Y\)都与\(Y\cup\{p_i\}\)配成一对（没有遗漏也没有重复）。在一对中，除了是否放\(p_i\)外其他选择完全相同，因此砝码\(i\)在这两个集合中的位置互为相反——在一个集合中在右，在另一个集合中在左。于是这两个集合里砝码\(i\)对“右减左”的贡献互为相反数（例如\(+w_i\)和\(-w_i\)），和为\(0\)。把所有这样的对加起来，砝码\(i\)在所有集合中的总贡献就是这些对的和，因而为\(0\)。
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对每一个砝码都按上法配对，得到在所有子集中该砝码总贡献为\(0\)。对所有砝码求和得出：所有学生子集\(X\)的平均\(T(X)\)为\(0\)。
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但已知\(T(\varnothing)>0\)。如果对所有\(X\)都有\(T(X)\ge0\)，则平均值也应为正数，这与第4步平均为\(0\)矛盾。因此存在某个\(X\)使得\(T(X)<0\)，即某个允许进入的学生集合会使天平向左倾。
结论：必然存在一组学生，McGregor女士允许他们进来后天平会被掀向左。