求所有边长都是整数、且面积与周长（在同一单位下）数值相等的矩形。
答案是：只有\(3\times 6\)和\(4\times 4\)两种（\(6\times 3\)只是把\(3\times 6\)转了个方向，不算新的）。
设两条边长分别为正整数\(a\)与\(b\)，不妨设\(a\le b\)。矩形面积是\(ab\)，周长是\(2(a+b)\)，于是条件就是
\[ ab=2(a+b).\]
把右边的项全部移到左边：
\[ ab-2a-2b=0.\]
直接看这个式子不容易定出\(a,b\)，但只要两边同时加上\(4\)，左边就能分解：
\[ ab-2a-2b+4=(a-2)(b-2)=4.\]
这一步是关键：原来“乘积等于和”把两个变量缠在一起，现在变成了“两个整数相乘等于\(4\)”，只剩下枚举因数对这样机械的工作。（把\(ab+ca+db+cd\)型的式子凑成\((a+d)(b+c)\)的手法，常叫作“配积”。这里取\(c=d=-2\)，正好凑出\(+4\)。）
先确认两个因子都是正数。若\(a=1\)，方程变成\(b=2+2b\)，得\(b=-2\)，不合；若\(a=2\)，则\((a-2)(b-2)=0\ne4\)，也不合。所以\(a\ge3\)，从而\(a-2\ge1\)，两个因子均为正整数。
又由\(a\le b\)知\(a-2\le b-2\)，而\(4\)的正因数对只有
\[ (1,4),\qquad(2,2),\]
（\((4,1)\)只是把\(a\)与\(b\)互换。）对应得到
\[ (a,b)=(3,6)\quad\text{或}\quad(4,4).\]
- \(3\times6\)：面积\(3\times6=18\)，周长\(2(3+6)=18\)，相等；
- \(4\times4\)：面积\(4\times4=16\)，周长\(2(4+4)=16\)，相等。
上面的枚举已经穷尽了所有可能，所以答案就是这两个矩形。
由\(ab=2(a+b)\)解出\(b\)：
\[ b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}.\]
要让\(b\)为整数，\(a-2\)必须整除\(4\)，即\(a-2\in\{1,2,4\}\)，于是\(a\in\{3,4,6\}\)，对应\((3,6),(4,4),(6,3)\)——与前面完全一致。这个写法也顺带说明了解为什么只有有限多个：\(a\)只能取那些使\(a-2\)成为\(4\)的因数的值。
- 对一般的\(ab=c(a+b)\)（\(c\)为正整数），同样的配方给出\((a-c)(b-c)=c^{2}\)。于是每个解都对应\(c^{2}\)的一个因数对；反过来，每个因数对\(d\cdot e=c^{2}\)也给出边长\(c+d\)与\(c+e\)，两者一一对应，所以解的个数总是有限的。本题相当于\(c=2\)，而\(c^{2}=4\)只有\((1,4)\)与\((2,2)\)两对正因数，正对应上面的两个解。
- “面积与周长相等”本身依赖长度单位：换成另一种单位，两个数值会以不同倍数变化，等式一般不再成立。所以题目默认了先取定一个长度单位，再比较数值。