\(4^9+6^{10}+3^{20}\)是否恰好是素数？
不是素数——它其实是一个完全平方数：
\[ 4^9+6^{10}+3^{20}=(2^9+3^{10})^2=59561^2=3{,}547{,}512{,}721.\]
令\(a=2^9=512\)，\(b=3^{10}=59049\)。两个平方项正好是
\[ 4^9=(2^2)^9=2^{18}=a^2,\qquad 3^{20}=(3^{10})^2=b^2,\]
而中间那一项是
\[ 6^{10}=(2\cdot3)^{10}=2^{10}3^{10}=2\cdot2^9\cdot3^{10}=2ab.\]
于是
\[ 4^9+6^{10}+3^{20}=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.\]
中间项不是“近似”等于\(2ab\)，而是精确等于，所以这是一次真正的配方。指数\(9,10,20\)正是为此挑选的：两个平方项，加上一个正好的交叉项，一项不多、一项不少。
\[ a+b=2^9+3^{10}=512+59049=59561,\]
所以原式等于\(59561^2=3{,}547{,}512{,}721\)。也可以直接验算三项：
\[ 4^9=262144,\qquad 6^{10}=60{,}466{,}176,\qquad 3^{20}=3{,}486{,}784{,}401,\]
三者相加确实是\(3{,}547{,}512{,}721\)。
因为\(59561>1\)，所以\(59561^2\)有真因子\(59561\)，是合数。因此\(4^9+6^{10}+3^{20}\)不是素数。
- 这类题的关键不在算，而在先看整体结构：碰到“大指数之和”，先问它能不能配成\(a^2+2ab+b^2\)、\(a^2-b^2\)、\(a^3\pm b^3\)之类可分解的形状。其中三次方的和差一定可以分解：\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)——两个\(\pm\)取相同符号（和取\(+\)、差取\(-\)），\(\mp\)取相反符号，所以只要看到立方项，就值得先试一试。本题一旦认出中间项就是\(2ab\)，“是不是素数”的问题就自动消失了。
- 同样的配方可以推广：对任意非负整数\(p\)，都有\(4^{p}+6^{p+1}+3^{2p+2}=(2^{p}+3^{p+1})^{2}\)。本题取\(p=9\)；取\(p=1\)就得到\(4+36+81=121=11^2\)。
- 顺带一提，\(59561\)本身是素数（用不超过\(\sqrt{59561}\approx 244\)的素数试除即可验证），所以原数恰好是一个素数的平方。不过这只是额外的信息——要判断它不是素数，知道它是平方数就足够了。