你马上要就一副充分洗匀的扑克牌最上面那张牌的颜色押上100美元。颜色由你自己挑；猜对了赢100美元，猜错了输同样多。
偷看一眼牌堆最底下那张牌，对你来说值多少钱？如果偷看的是最底下两张牌，又能多值多少？
（一副牌有26张红牌、26张黑牌。）
答案：偷看一张底牌值\(\frac{100}{51}\)美元（约\(1.96\)美元）；而多看第二张底牌一分钱都不多值——偷看两张牌的总价值仍然是\(\frac{100}{51}\)美元。
不看底牌时，顶牌红黑各半，随便押哪一色期望收益都是\(0\)。所以“偷看”的价值，就等于用了偷看来的信息之后下注的期望收益。
设看到的底牌颜色为\(C\)。此时顶牌\(T\)在其余\(51\)张牌中等可能地取一张，其中\(25\)张与\(C\)同色、\(26\)张与\(C\)异色，所以
- \(T\)与\(C\)同色的概率是\(\frac{25}{51}\)；
- \(T\)与\(C\)异色的概率是\(\frac{26}{51}\)。
显然应该押与\(C\)相反的颜色，于是赢的概率为\(\frac{26}{51}\)，下注的期望收益是
\[ 100\times\left(\frac{26}{51}-\frac{25}{51}\right)=\frac{100}{51}\approx 1.96.\]
也就是说，押“顶牌与底牌颜色不同”能赢\(\frac{26}{51}\)；这正是偷看一张底牌的价值。
关键观察：看两张时，你仍然可以（而且最优地）只押“与最底下那张\(B_1\)相反的颜色”——这正是看一张时的策略。第二张牌\(B_2\)看到什么，都不会让这个决定变得不明智：
- \(B_2\)与\(B_1\)同色：两张同色只会让你更确定要押相反的颜色，决定和看一张时完全一样；
- \(B_2\)与\(B_1\)异色：两张牌的信息相互抵消，剩下的\(50\)张牌正好\(25\)红\(25\)黑，顶牌红黑各半，此时怎么押都一样，“押与\(B_1\)相反的颜色”不会更差。
既然看两张时的最优策略可以和看一张时完全相同，能拿到的最大胜率也就相同：
\[ \Pr[\text{顶牌}\ne B_1]=\frac{26}{51},\]
价值同为\(\frac{100}{51}\)美元。多看第二张底牌，一分钱也不多值。
记看最底下\(k\)张牌的价值为\(V_k\)。一般地有
\[ V_k=100\cdot\frac{\mathbb{E}|D_k|}{52-k},\]
其中\(D_k\)是这\(k\)张牌里“红牌张数减黑牌张数”。看到\(D_k=d\)后，剩下\(52-k\)张牌的红黑之差是\(-d\)，押牌多的那一色，赢面就是\(\frac{1}{2}+\frac{|d|}{2(52-k)}\)，对应的期望收益即上式。
由这个公式还能看出一个漂亮的规律：看\(2m\)张的价值总等于看\(2m-1\)张的价值（\(m=1,2,\dots\)）。道理很简单：\(2m-1\)张牌里红黑之差\(D_{2m-1}\)必是奇数、不可能为\(0\)，设它等于\(t\ne0\)，则再多看的那一张“是红牌”与“是黑牌”的概率之差恰好是\(\frac{-t}{53-2m}\)，直接算得
\[ \mathbb{E}|D_{2m}|=\frac{52-2m}{53-2m}\,\mathbb{E}|D_{2m-1}|,\]
代入价值公式即得\(V_{2m}=V_{2m-1}\)。本题“看两张与看一张同价”就是\(m=1\)的情形。
最后，本题只用到“整副牌红黑张数相等”这一条对称性：把100换成任何赌注、把52张换成红黑两色张数相等的任何一副牌，结论的形状都不变。